采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法.pdf

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1、(19)国家知识产权局(12)发明专利申请(10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 202410021707.4(22)申请日 2024.01.05(71)申请人 清华大学地址 100084 北京市海淀区清华园(72)发明人 庄池杰曾嵘石清元彭晞雨任李鑫(74)专利代理机构 北京知联天下知识产权代理事务所(普通合伙)11594专利代理师 刘彦平(51)Int.Cl.G06F 30/367(2020.01)G06F 30/398(2020.01)G06F 111/10(2020.01)(54)发明名称一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法(57)摘要本发明提供了一种采用调。

2、和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法，所述方法包括，确立描述半导体器件稳态下的基本控制方程组；确定电子、空穴漂移扩散方程满足的边界条件；引入矢量性质的辅助未知量，将基本控制方程组内的方程降阶为仅有一阶微分算子的形式；进行网格划分和控制方程组的空间离散化，由仅有一阶微分算子的控制方程组得到弱形式；将公式中的HDG弱形式中的对流项和扩散项的数值积分通过调和平均技术处理；使用牛顿法求解全部待求未知量。本发明提出了一种通过调和平均技术对高精度有限元格式的弱形式进行变换的方法，可以使得调整后的有限元格式在保持高精度的同时不再出现数值震荡。权利要求书3页 说明书7页 附图2页CN 117556769 A。

3、2024.02.13CN 117556769 A1.一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法，其特征在于，所述方法包括，确立描述半导体器件稳态下的基本控制方程组；确定电子、空穴漂移扩散方程满足的边界条件；引入矢量性质的辅助未知量，将基本控制方程组内的方程降阶为仅有一阶微分算子的形式；进行网格划分和基本控制方程组的空间离散化，由仅有一阶微分算子的控制方程组得到弱形式；将弱形式中的对流项和扩散项的数值积分通过调和平均变量混合；使用牛顿法求解全部待求未知量。2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，半导体器件稳态下的基本控制方程组为(1)，其中，为电离施主浓度，为电离受主浓度，为电子生成率，。

4、为电子复合率，为空穴生成率，为空穴复合率，为介电常数，为单位电荷；电子连续性方程和空穴连续性方程中，电子电流密度和空穴电流密度为如下的对流项+扩散项的形式(2)，其中，单位电荷、电子迁移率空穴、空穴迁移率、电子扩散系数、空穴扩散系数均为常数。3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述边界条件包括：和电极欧姆接触的Dirichlet边界满足的方程(3)，其中为半导体电极外加的电压，为半导体中的热电压，为本征载流子浓度；和绝缘介质接触的Neumann边界满足的方程为零边界通量(4)。4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，将基本控制方程组无量纲化，并引入电场强度电子电流密度、空穴电流密度三权。

5、利要求书1/3 页2CN 117556769 A2个矢量性质的辅助未知量，将基本控制方程组内的方程降阶为仅有一阶微分算子的形式(5)，其中，为电场强度基本未知量，为电子数基本未知量，为空穴数基本未知量。5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，记全部网格单元的集合为，记函数的内积为，记网格的集合为，记网格分界面的集合为，分别对方程（5）中的6个未知量使用测试函数进行积分，并且通过分部积分引入分界面未知量，最终得到HDG弱形式为（6），其中，在网格单元边界上的矢量通量的定义为（7），其中，为电子稳定系数，实际计算时根据方程中对流项和扩散项的大小指定。6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，电子。

6、连续性方程中，将分界面未知量 在网格单元边界上的积分重新通过分部积分，得到对网格单元内的“对流项+扩散项”的体积分的形式（8）；首先将网格单元内的“对流项和扩散项”合为一个未知量进行积分（9），然后将该HDG弱形式的积分项，完整展开为i点的测试函数的形函数和j点的试探函数的形函数的乘积的积分，并将积分中的使用i,j两点的的调和平均变量替代，并且将其从积分中移出，得到（10），对公式（10）中的积分进行等价转换，将其改写为权利要求书2/3 页3CN 117556769 A3（11），再将调和平均变量展开，得到（12），其中表示伯努利函数。权利要求书3/3 页4CN 117556769 A4一种采。

7、用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法技术领域0001本发明属于半导体器件与集成电路领域，尤其涉及一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法。背景技术0002使用数值方法进行半导体方程的求解对于分析半导体器件的工作状态至关重要。在不考虑量子效应的经典半导体物理模型下，半导体器件内部的物理过程由泊松方程和电子、空穴的对流扩散方程共三个方程描述。但由于半导体材料的性质，特别是半导体器件中常见的PN结结构存在，半导体控制方程组不易被数值求解，使用常规的数值离散方法极易引起震荡。0003因此，对于半导体方程的数值求解，现在主要有两条路线：采用基于ScharfetterGummel格式（SG格。

8、式）的有限体积法对半导体方程组进行离散，由于SG格式保证了矩阵具有M矩阵的性质，所以不会出现数值震荡，但此方法精度较低，在电场强度较高的区域仅有一阶精度，需要使用较密的网格和较多的未知量才能获得准确的计算结果。0004采用以局部间断伽辽金（Local Discontinuous Galerkin，LDG）和混合间断伽辽金（Hybridizable Discontinuous Galerkin，HDG）方法为代表的高精度有限元方法对半导体方程组进行离散。此类有限元方法可以通过高阶基函数得到高精度的结果，但在离散半导体的对流扩散方程时会有严重的数值震荡，甚至无法收敛。发明内容0005为解决上述问题。

9、，本发明提出了一种通过调和平均技术对高精度有限元格式的弱形式进行变换的方法，可以使得调整后的有限元格式在保持高精度的同时不再出现数值震荡。将此方法应用在HDG有限元格式中，最终可以实现半导体方程的稳定、精确求解。0006本发明通过如下技术方案实现：一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法，所述方法包括，确立描述半导体器件稳态下的基本控制方程组；确定电子、空穴漂移扩散方程满足的边界条件；引入矢量性质的辅助未知量，将基本控制方程组内的方程降阶为仅有一阶微分算子的形式；进行网格划分和控制方程组的空间离散化，由仅有一阶微分算子的控制方程组得到弱形式；将公式中的HDG弱形式中的对流项和扩散项的数。

10、值积分通过调和平均变量混合；使用牛顿法求解全部待求未知量。0007进一步地，半导体器件稳态下的基本控制方程组为说明书1/7 页5CN 117556769 A5(1)，0008其中，为电离施主浓度，为电离受主浓度，为电子生成率，为电子复合率，为空穴生成率，为空穴复合率，为介电常数，为单位电荷；电子连续性方程和空穴连续性方程中，电子电流密度 和空穴电流密度 为如下的对流项+扩散项的形式0009(2)，0010其中，单位电荷、电子迁移率空穴、空穴迁移率、电子扩散系数、空穴扩散系数均为常数。0011进一步地，所述边界条件包括：和电极欧姆接触的Dirichlet边界满足的方程(3)，0012其中为半导体。

11、电极外加的电压，为半导体中的热电压，为本征载流子浓度；0013和绝缘介质接触的Neumann边界满足的方程为零边界通量(4)。0014进一步地，将基本控制方程组无量纲化，并引入电场强度电子电流密度、空穴电流密度三个矢量性质的辅助未知量，将方程降阶为仅有一阶微分算子的形式0015(5)，0016其中，为电场强度基本未知量，为电子数基本未知量，为空穴数基本未知量。0017进一步地，记全部网格单元的集合为，记函数的内积为，记网格的集合为，记网格分界面的集合为，0018分别对方程（5）中的6个未知量使用测试函数进行积说明书2/7 页6CN 117556769 A6分，并且通过分部积分引入分界面未知量，。

12、最终得到弱形式为0019（6），0020其中，在网格单元边界上的矢量通量的定义为0021（7），0022其中，为电子稳定系数，实际计算时根据方程中对流项和扩散项的大小指定。0023进一步地，电子连续性方程中，将分界面未知量 在网格单元边界上的积分重新通过分部积分，得到对网格单元内的“对流项+扩散项”的体积分的形式0024（8），0025首先将网格单元内的“对流项和扩散项”合为一个未知量进行积分（9），0026然后将该HDG弱形式的积分项，完整展开为i点的测试函数的形函数和j点的试探函数的形函数的乘积的积分，并将积分中的使用i,j两点的 的调和平均变量替代，并且将其从积分中移出，得到0027（1。

13、0），0028对公式(12)中的积分进行等价转换，将其改写为00290030（11），0031再将调和平均变量展开，得到00320033（12），0034其中为伯努利函数。0035与现有技术相比，本发明具有如下优点：说明书3/7 页7CN 117556769 A7将本发明提出的调和平均技巧应用于HDG等高精度有限元格式中，可以在保证较高空间离散精度的同时，也消除数值震荡和不收敛的现象，最终实现半导体方程的稳定、精确数值求解。0036本发明的其它特征和优点将在随后的说明书中阐述，并且，部分地从说明书中变得显而易见，或者通过实施本发明而了解。本发明的目的和其他优点可通过在说明书、权利要求书以及附图。

14、中所指出的结构来实现和获得。附图说明0037为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。0038图1示出了本发明的仿真方法的流程图；图2示出了某实施例中使用本发明的仿真方法获得的半导体器件内的电势分布图；图3示出了某实施例中使用本发明的仿真方法获得的半导体器件内的电子浓度分布图。具体实施方式0039为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施。

15、例中的技术方案进行清楚、完整地说明，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。0040本发明的一种采用调和平均变量的半导体器件运行状态仿真方法，包含在以下描述中。0041对半导体器件工作状态的仿真模拟，首先需要确立描述半导体器件稳态下的基本控制方程组。0042考虑求解半导体器件的稳态，忽略时间项，需要求解的未知量为电势 和电子浓度、空穴浓度，分别建立关于电势的泊松方程、关于电子浓度的电子连续性方程、关于空穴浓度的空穴连续性方程，因此，描述半导体器件稳态下的工作状。

16、态的偏微分方程组为0043(1)，0044其中，为电离施主浓度，为电离受主浓度，为电子生成率，为电子复合率，为空穴生成率，为空穴复合率，为介电常数，为单位电荷；电子连续性方程和空穴连续性方程中，电子电流密度 和空穴电流密度 为如下的对流项+扩散项的形式说明书4/7 页8CN 117556769 A80045(2)，0046为简化考虑，上述方程组（1）和（2）中的单位电荷、电子迁移率空穴、空穴迁移率、电子扩散系数、空穴扩散系数均考虑为常数。0047半导体器件结构中电子、空穴漂移扩散方程组满足特定的边界条件，通常考虑电极欧姆接触和绝缘介质接触两种边界条件，分别对应Dirichlet边界和Neuma。

17、nn边界。其中和电极欧姆接触的Dirichlet边界满足的方程为(3)，其中为半导体电极外加的电压。为半导体中的热电压，为本征载流子浓度。0048而和绝缘介质接触的Neumann边界满足的方程为零边界通量(4)0049最终，使用控制方程组（1）描述的偏微分方程系统和方程组（3）描述的边界条件可以求解得到稳态下半导体器件内部的三个基本物理量的分布，进一步可以计算得到半导体器件的端电流、半导体器件内电场分布等其他物理量，从而完成半导体器件运行状态的模拟计算。0050对控制方程组（1）的求解，首先将基本控制方程组无量纲化，并引入三个矢量性质的辅助未知量，将方程降阶为仅有一阶微分算子的形式0051(5。

18、)。0052而后进行网格划分和控制方程组的空间离散化，求解基本未知量和辅助未知量，以及网格单元之间的分界面上的分界面未知量。0053其中(6)，0054记全部网格单元的集合为，记函数的内积为，记网格的集合为，记网格分界面的集合为，0055分别对方程（5）中的6个未知量使用测试函数进行积分，并且通过分部积分引入分界面未知量，最终得到弱形式为说明书5/7 页9CN 117556769 A90056（7），0057其中，在网格单元边界上的矢量通量的定义为0058，0059其中，为电子稳定系数，实际计算时根据方程中对流项和扩散项的大小指定。0060上述公式定义了在网格单元内的方程，HDG格式还需要满足。

19、网格单元之间的连续性条件(9)，0061其中为单元分界面上未知量所对应的有限元测试函数。0062为了避免PN结等位置处的未知量的大梯度分布导致离散后的矩阵性质恶化，需要更换上面方程组(7)中弱形式的数值积分的处理方式。0063重新回到方程组(7)，以电子连续性方程为例，将分界面未知量 在网格单元边界上的积分重新通过分部积分，得到对网格单元内的“对流项+扩散项”的体积分的形式0064(10)，0065首先将网格单元内的“对流项和扩散项”合为一个未知量进行积分(11)，0066然后将该HDG弱形式的积分项，完整展开为i点的测试函数的形函数和j点的试探函数的形函数的乘积的积分，并将积分中的使用i,j。

20、两点的 的调和平均变量替代，并且将其从积分中移出，得到0067(12)，0068由于有限元形函数具有性质，所以可以对公式(12)中的积分进行等价转换，将其改写为00690070(13)，说明书6/7 页10CN 117556769 A100071再将调和平均变量展开，得到00720073(14)，0074其中表示伯努利函数。0075通过上述步骤，我们将公式中的HDG弱形式中的对流项和扩散项的直接数值积分通过调和平均变量混合在了一起，这样可以保证得到的系数矩阵是M矩阵，从而得到稳定、收敛的结果。0076将调和平均技巧(14)引入HDG格式的方程组(7)中，得到半导体方程离散后的非线性的代数方程组。

21、，其中 为全部待求未知量。对方程中的非线性项求导得到雅可比矩阵，使用牛顿法求解，最终得到该非线性方程组的解。0077实施例考虑一个均匀掺杂的一维突变PN结器件，器件长度为，P型掺杂区域和N型掺杂区域等长，掺杂浓度均为，两侧分别为阴极和阳极电极接触。0078给阳极施加0.8V的电压偏置，使该二极管正向导通，使用本文提出的带有调和平均技巧的HDG方法进行求解，得到器件内的电势 的分布和电子浓度 的分布如图2、图3所示。0079尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。说明书7/7 页11CN 117556769 A11图 1图 2说明书附图1/2 页12CN 117556769 A12图 3说明书附图2/2 页13CN 117556769 A13。