随机混合显隐式时域有限差分方法.pdf
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1、(19)中华人民共和国国家知识产权局 (12)发明专利申请 (10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 201910259369.7 (22)申请日 2019.04.02 (71)申请人 安徽大学 地址 230601 安徽省合肥市经济技术开发 区九龙路111号 (72)发明人 牛凯坤黄志祥任信钢李平 方明杨利霞况晓静朱浩然 (74)专利代理机构 合肥国和专利代理事务所 (普通合伙) 34131 代理人 张祥骞 (51)Int.Cl. G06F 17/50(2006.01) (54)发明名称 一种随机混合显隐式时域有限差分方法 (57)摘要 本发明涉及一种随机混合显隐式时域有限 差分。
2、方法, 该方法: 定义随机电磁参数, 根据实验 数据确定其均值、 标准差的统计规律; 对麦克斯 韦方程进行线性期望运算, 得到电场和磁场期望 的迭代求解公式; 对麦克斯韦方程进行方差运 算, 得到电场和磁场方差的迭代求解公式; 输入 随机电磁参数的均值和标准差, 迭代求解麦克斯 韦方程中电场和磁场的期望和标准差; 对电场和 磁场的期望和方差等电磁响应进行后处理, 得到 宽带的电磁散射特性。 本发明仅需要一次运算即 可获得目标宽频带的电磁散射特性, 极大地节约 了计算时间; 在处理空间分辨率具有高对比度的 材料时具有较大的优势和更高的计算效率; 本发 明在具有较高计算效率的同时, 亦保证了计算的。
3、 精度。 权利要求书4页 说明书11页 附图4页 CN 109948293 A 2019.06.28 CN 109948293 A 1.一种随机混合显隐式时域有限差分方法, 其特征在于: 该方法包括下列顺序的步骤: (1)定义随机电磁参数, 根据实验数据确定其均值、 标准差的统计规律; (2)对麦克斯韦方程进行线性期望运算, 采用泰勒级数展开方法进行展开化简, 得到电 场和磁场期望的迭代求解公式; (3)对麦克斯韦方程进行方差运算, 采用泰勒级数展开方法进行展开化简, 得到电场和 磁场方差的迭代求解公式; (4)输入随机电磁参数的均值和标准差, 迭代求解麦克斯韦方程中电场和磁场的期望 和标准差。
4、; (5)对电场和磁场的期望和方差等电磁响应进行后处理, 得到宽带的电磁散射特性。 2.根据权利要求1所述的随机混合显隐式时域有限差分方法, 其特征在于: 所述步骤 (1)具体是指: 设定g为包含多个随机变量x1,x2,x3,xn的函数, 上述随机变量的平均值分别对应为 随机变量x1,、 x2、 x3、 x4分别一一对应为电场分量Em(mx,y,z)、 磁场 分量Hm(mx,y,z)、 相对介电常数 r、 电导率 , 采用数理统计的方法, 获得上述随机变量的 离散型随机分布, 计算得到不确定性电磁参数的均值、 标准差的统计规律。 3.根据权利要求1所述的随机混合显隐式时域有限差分方法, 其特征。
5、在于: 所述步骤 (2)具体是指: 对函数g进行线性期望运算, M表示期望运算符,采用泰勒级数展开方法进行展开化简 并忽略高阶项可得: 其中, g为包含多个随机变量x1,x2,x3,xn的函数, 上述随机变量的平均值分别对应为 对麦克斯韦方程在随机显隐式时域有限差分方法即HIE-FDTD下的离散方程进行线性 期望运算, 利用式(1)求得电场和磁场期望的迭代表达式,以Ex和Hy分量为例: 其中, 0是自由空间的介电常数, 为磁导率, t是时间步长, n是时间的索引, 如表 示电场Ex分量在时刻tnt的场值,和 分别表示 r和 的均值。 4.根据权利要求2所述的随机混合显隐式时域有限差分方法, 其。
6、特征在于, 所述步骤 (3)具体是指: 对麦克斯韦方程的离散公式进行方差运算可得: 权利要求书 1/4 页 2 CN 109948293 A 2 其中, g为包含多个随机变量x1,x2,x3,xn的函数, 上述随机变量的平均值分别对应为 2表示方差运算符; 采用泰勒级数展开方法进行展开化简并忽略高阶项可得: 以Ex为例进行说明, 其在HIE-FDTD的离散公式为: 利用以下两个恒等式来展开上式: 2 X 2 2X(7) 其中, 是常数; Cov(X,Y)是协方差, 展开为Cov(X,Y) XY X Y; XY是X和Y之间的相 关系数; 表示标准差运算符; 式(6)的左侧展开为: 使用式(5)对。
7、式(9)第二项的平方进行展开得: 权利要求书 2/4 页 3 CN 109948293 A 3 其中, XY为相关系数, 表征了变量之间的相关性大小,例如:表示 和 r的相关系 数, ,E表示 和E的相关系数,表示 r和E的相关系数; 对上式进行化简、 省略高阶项并进行开平方运算后可得出式(9)的开平方表达式: 同理可对式(6)的右侧进行展开化简, 从而得到Ex分量标准差的表达式; 由于该算法为 隐式算法, 设置HIE-FDTD方法的稳定性条件与y方向无关; 在更新Ex和Hz的过程中, 求解场分 量需要用到的值, 而求解场分量需要用到的值; 因此将的表达式代 入的表达式从而消去未知量, 最终获。
8、得电场Ex分量标准差的最终表达式: 权利要求书 3/4 页 4 CN 109948293 A 4 其中: 是空间步长, ,H表示 和H的相关系数,表示 r和H的相关系数。 5.根据权利要求1所述的随机混合显隐式时域有限差分方法, 其特征在于: 所述步骤 (4)具体是指: 将随机电磁参数的均值和标准差代入麦克斯韦方程的离散表达式, 设置激励 源和目标模型, 利用电场和磁场及其边界条件的期望和标准差表达式迭代求解目标的电磁 散射特性。 权利要求书 4/4 页 5 CN 109948293 A 5 一种随机混合显隐式时域有限差分方法 技术领域 0001 本发明涉及计算电磁学电磁散射特性数值仿真技术领。
9、域, 尤其是一种随机混合显 隐式时域有限差分方法。 背景技术 0002 在处理实际工程问题的过程中, 通常会遇到很多本征特性具有随机性的物体, 这 些物体在大自然中无处不在并且会对很多前沿的科学领域如生物电磁学, 大气物理学, 探 地雷达和遥感等产生不可忽视的影响。 具体来说, 由于人体组织和器官的组成, 多样的大气 环境和地球的组成物质的电介质特性均具有不确定性, 所以对物体随机特性的研究在上述 领域有着至关重要的作用, 因此其也引起了学者的广泛关注和研究。 另一方面, 制造和测量 技术中的误差也会导致物质的电性能具有不确定性, 例如军事工业领域中的隐身飞机的表 面介质涂覆、 超表面、 频率。
10、选择表面和微波天线等。 然而, 传统的全波求解器无法统计和量 化具有不确定性的材料对场值和能量造成的影响, 模型中的不确定性参数仅能使用平均值 代替, 因此传统方法仅能得到平均值响应, 这造成了数值模拟与实验的结果之间仍然存在 很大的误差。 因此, 针对导电性和介电常数等电磁参数具有不确定性的材料, 分析其对电磁 场均值和方差的影响是非常重要且必要的。 0003 量化电磁场统计变化规律最常规的方法是蒙特卡罗(MC)方法, 其运算机理是在每 次全波仿真之前, 根据不确定性参数的统计规律随机的选择参数, 并重复运行该过程数万 次, 从而统计得到系统响应的均值和方差。 但是, 大量的重复全波仿真过程。
11、需要消耗巨大的 计算时间成本。 因此, MC方法过于耗时的特性使其难以应用于处理较为复杂的结构和实际 工程问题。 然而针对空间分辨率具有高对比度的材料, 传统的时域方法如FDTD方法的时间 步长受最细网格单元大小的限制, 使其计算效率大大地降低。 0004 因此, 如何设计出可以高效求解具有精细结构、 电磁参数具有随机特性材料的统 计变化规律的数值算法已经成为急需解决的技术问题。 发明内容 0005 本发明的目的在于提供一种能够实现更加高效稳定的宽带电磁仿真的随机混合 显隐式时域有限差分方法。 0006 为实现上述目的, 本发明采用了以下技术方案: 一种随机混合显隐式时域有限差 分方法, 该方。
12、法包括下列顺序的步骤: 0007 (1)定义随机电磁参数, 根据实验数据确定其均值、 标准差的统计规律; 0008 (2)对麦克斯韦方程进行线性期望运算, 采用泰勒级数展开方法进行展开化简, 得 到电场和磁场期望的迭代求解公式; 0009 (3)对麦克斯韦方程进行方差运算, 采用泰勒级数展开方法进行展开化简, 得到电 场和磁场方差的迭代求解公式; 0010 (4)输入随机电磁参数的均值和标准差, 迭代求解麦克斯韦方程中电场和磁场的 说明书 1/11 页 6 CN 109948293 A 6 期望和标准差; 0011 (5)对电场和磁场的期望和方差等电磁响应进行后处理, 得到宽带的电磁散射特 性。
13、。 0012 所述步骤(1)具体是指: 0013 设定g为包含多个随机变量x1,x2,x3,xn的函数, 上述随机变量的平均值分别对 应为随机变量x1,、 x2、 x3、 x4分别一一对应为电场分量Em(mx,y,z)、 磁场分量Hm(mx,y,z)、 相对介电常数 r、 电导率 , 采用数理统计的方法, 获得上述随机变 量的离散型随机分布, 计算得到不确定性电磁参数的均值、 标准差的统计规律。 0014 所述步骤(2)具体是指: 0015 对函数g进行线性期望运算, M表示期望运算符,采用泰勒级数展开方法进行展开 化简并忽略高阶项可得: 0016 0017 其中, g为包含多个随机变量x1,。
14、x2,x3,xn的函数, 上述随机变量的平均值分别 对应为 0018 对麦克斯韦方程在随机显隐式时域有限差分方法即HIE-FDTD下的离散方程进行 线性期望运算, 利用式(1)求得电场和磁场期望的迭代表达式,以Ex和Hy分量为例: 0019 0020 其中, 0是自由空间的介电常数, 为磁导率, t是时间步长, n是时间的索引, 如 表示电场Ex分量在时刻tnt的场值,和 分别表示 r和 的均值。 0021 所述步骤(3)具体是指: 0022 对麦克斯韦方程的离散公式进行方差运算可得: 0023 0024 其中, g为包含多个随机变量x1,x2,x3,xn的函数, 上述随机变量的平均值分别 对。
15、应为 2表示方差运算符; 0025 采用泰勒级数展开方法进行展开化简并忽略高阶项可得: 说明书 2/11 页 7 CN 109948293 A 7 0026 0027 以Ex为例进行说明, 其在HIE-FDTD的离散公式为: 0028 0029 利用以下两个恒等式来展开上式: 0030 2 X 2 2X (7) 0031 0032 其中, 是常数; Cov(X,Y)是协方差, 展开为Cov(X,Y) XY X Y; XY是X和Y之 间的相关系数; 表示标准差运算符; 0033 式(6)的左侧展开为: 0034 0035 使用式(5)对式(9)第二项的平方进行展开得: 说明书 3/11 页 8 。
16、CN 109948293 A 8 0036 0037其中, XY为相关系数, 表征了变量之间的相关性大小,例如:表示 和 r的相关 系数, ,E表示 和E的相关系数,表示 r和E的相关系数; 0038 对上式进行化简、 省略高阶项并进行开平方运算后可得出式(9)的开平方表达式: 0039 0040 同理可对式(6)的右侧进行展开化简, 从而得到Ex分量标准差的表达式; 由于该算 法为隐式算法, 设置HIE-FDTD方法的稳定性条件与y方向无关; 在更新Ex和Hz的过程中, 求解 场分量Exn+1需要用到Hzn+1的值, 而求解场分量Hzn+1需要用到Exn+1的值; 因此将Hzn+1的表达式 。
17、代入Exn+1的表达式从而消去未知量, 最终获得电场Ex分量标准差的最终表达式: 说明书 4/11 页 9 CN 109948293 A 9 0041 0042其中: 是空间步长, ,H表示 和H的相关系数,表示 r和H的相关系数。 0043 所述步骤(4)具体是指: 将随机电磁参数的均值和标准差代入麦克斯韦方程的离 散表达式, 设置激励源和目标模型, 利用电场和磁场及其边界条件的期望和标准差表达式 迭代求解目标的电磁散射特性。 0044 由上述技术方案可知, 本发明的有益效果为: 本发明仅需要一次运算即可获得目 标宽频带的电磁散射特性, 相比较于处理随机问题的传统MC方法需要重复成千上万次全。
18、波 仿真, 极大地节约了计算时间; 本发明的时间步长不再受最细网格单元大小的限制, 这使得 本发明与S-FDTD方法相比, 在处理空间分辨率具有高对比度的材料时具有较大的优势和更 高的计算效率; 本发明在具有较高计算效率的同时, 亦保证了计算的精度。 附图说明 0045 图1为本发明的方法流程图; 0046 图2为多层人体组织三维仿真区域示意图; 说明书 5/11 页 10 CN 109948293 A 10 0047 图3使用MC方法、 S-FDTD方法和本发明计算得出的人体组织内电场的均值对比图; 0048 图4使用MC方法、 S-FDTD方法和本发明计算得出的人体组织内电场的方差对比图;。
19、 0049 图5(a)为频域选择表面单元俯视图; 0050 图5(b)为三维仿真区域示意图; 0051 图6为使用S-FDTD和本方法计算得到频域选择表面的传输系数结果对比图。 具体实施方式 0052 为了高效准确地研究具有精细结构且电磁参数具有不确定性随机材料电磁散射 特性的统计变化规律, 本发明将量化电特性统计变化规律的方法与传统的HIE-FDTD方法相 结合, 提出了一种随机HIE-FDTD(S-HIE-FDTD)方法来应用数理统计理论表征电磁参数的不 确定性对电磁散射特性的影响。 本发明通过单次全波仿真过程即可获得电磁参数具有不确 定性目标的宽带电磁散射特性, 在大大地提高了原有方法计。
20、算效率的同时也保证了仿真的 精准度。 0053 一种随机混合显隐式时域有限差分方法, 该方法包括下列顺序的步骤: 0054 (1)定义随机电磁参数, 根据实验数据确定其均值、 标准差的统计规律; 0055 (2)对麦克斯韦方程进行线性期望运算, 采用泰勒级数展开方法进行展开化简, 得 到电场和磁场期望的迭代求解公式; 0056 (3)对麦克斯韦方程进行方差运算, 采用泰勒级数展开方法进行展开化简, 得到电 场和磁场方差的迭代求解公式; 0057 (4)输入随机电磁参数的均值和标准差, 迭代求解麦克斯韦方程中电场和磁场的 期望和标准差; 0058 (5)对电场和磁场的期望和方差等电磁响应进行后处。
21、理, 得到宽带的电磁散射特 性,如S参数, 雷达散射截面(RCS)等。 0059 所述步骤(1)具体是指: 0060 设定g为包含多个随机变量x1,x2,x3,xn的函数, 上述随机变量的平均值分别对 应为随机变量x1,、 x2、 x3、 x4分别一一对应为电场分量Em(mx,y,z)、 磁场分量Hm(mx,y,z)、 相对介电常数 r、 电导率 , 采用数理统计的方法, 获得上述随机变 量的离散型随机分布, 计算得到不确定性电磁参数的均值、 标准差的统计规律。 0061 所述步骤(2)具体是指: 0062 对函数g进行线性期望运算, M表示期望运算符,采用泰勒级数展开方法进行展开 化简并忽略。
22、高阶项可得: 0063 0064 其中, g为包含多个随机变量x1,x2,x3,xn的函数, 上述随机变量的平均值分别 对应为 0065 对麦克斯韦方程在随机显隐式时域有限差分方法即HIE-FDTD下的离散方程进行 线性期望运算, 利用式(1)求得电场和磁场期望的迭代表达式,以Ex和Hy分量为例: 说明书 6/11 页 11 CN 109948293 A 11 0066 0067 其中, 0是自由空间的介电常数, 为磁导率, t是时间步长, n是时间的索引, 如 表示电场Ex分量在时刻tnt的场值,和 分别表示 r和 的均值。 0068 所述步骤(3)具体是指: 0069 对麦克斯韦方程的离散。
23、公式进行方差运算可得: 0070 0071 其中, g为包含多个随机变量x1,x2,x3,xn的函数, 上述随机变量的平均值分别 对应为 2表示方差运算符; 0072 采用泰勒级数展开方法进行展开化简并忽略高阶项可得: 0073 0074 以Ex为例进行说明, 其在HIE-FDTD的离散公式为: 0075 0076 利用以下两个恒等式来展开上式: 0077 2 X 2 2X (7) 0078 0079 其中, 是常数; Cov(X,Y)是协方差, 展开为Cov(X,Y) XY X Y; XY是X和Y之 间的相关系数; 表示标准差运算符; 0080 式(6)的左侧展开为: 说明书 7/11 页 。
24、12 CN 109948293 A 12 0081 0082 使用式(5)对式(9)第二项的平方进行展开得: 0083 0084其中, XY为相关系数, 表征了变量之间的相关性大小,例如:表示 和 r的相 关系数, ,E表示 和E的相关系数,表示 r和E的相关系数; 0085 对上式进行化简、 省略高阶项并进行开平方运算后可得出式(9)的开平方表达式: 说明书 8/11 页 13 CN 109948293 A 13 0086 0087 同理可对式(6)的右侧进行展开化简, 从而得到Ex分量标准差的表达式; 由于该算 法为隐式算法, 设置HIE-FDTD方法的稳定性条件与y方向无关; 在更新Ex。
25、和Hz的过程中, 求解 场分量Exn+1需要用到Hzn+1的值, 而求解场分量Hzn+1需要用到Exn+1的值; 因此将Hzn+1的表达式 代入Exn+1的表达式从而消去未知量, 最终获得电场Ex分量标准差的最终表达式: 0088 0089其中: 0090 0091是空间步长, ,H表示 和H的相关系数,表示 r和H的相关系数。 说明书 9/11 页 14 CN 109948293 A 14 0092 所述步骤(4)具体是指: 将随机电磁参数的均值和标准差代入麦克斯韦方程的离 散表达式, 依据图1所示流程图的步骤,设置激励源和目标模型, 利用电场和磁场及其边界 条件的期望和标准差表达式迭代求解。
26、目标的电磁散射特性。 0093 现结合两个数值实例及说明书附图对本发明作进一步描述和验证。 图2所示为多 层人体组织三维仿真区域示意图, 入射脉冲通过总场/散射场(TF/SF)技术引入, ABC为吸收 边界条件, 人体组织放置于空气(air)之中, 人体组织(皮肤skin, 脂肪fat和肌肉muscle)的 介电常数和电导率的平均值和标准差和人体组织的厚度如下表所示。 0094 0095 图3和4所示分别为使用MC方法、 S-FDTD方法和本方法计算得出的人体组织内电场 的均值和方差对比图, CPU的计算效率如下表所示, 可以看出本发明具有较高计算效率的同 时保证了较高的精度。 0096 00。
27、97 0098 图5所示为频域选择表面仿真示意图: 图5(a)为频域选择表面单元俯视图, 图5(b) 为三维仿真区域示意图。 0099 图6所示为使用S-FDTD和本发明方法计算得到频域选择表面的传输系数结果对比 图, 其中M表示直接对电场的均值实施傅里叶变换获得的结果, M+S(M-S)表示的是时域中电 场的均值加上(减去)方差后再实施傅里叶变换获得的结果。 CPU的计算效率如下表所示, 可 以看出本发明具有较高计算效率的同时保证了较高的精度。 0100 方法时间步总的迭代次数CPU时间(s) S-FDTDx/6c100001213.56 S-HIE-FDTD4x/6c2500828.32 。
28、0101 综上所述, 本发明仅需要一次运算即可获得目标宽频带的电磁散射特性, 相比较 说明书 10/11 页 15 CN 109948293 A 15 于处理随机问题的传统MC方法需要重复成千上万次全波仿真, 极大地节约了计算时间; 本 发明的时间步长不再受最细网格单元大小的限制, 这使得本发明与S-FDTD方法相比, 在处 理空间分辨率具有高对比度的材料时具有较大的优势和更高的计算效率; 本发明在具有较 高计算效率的同时, 亦保证了计算的精度。 说明书 11/11 页 16 CN 109948293 A 16 图1 图2 说明书附图 1/4 页 17 CN 109948293 A 17 图3 图4 说明书附图 2/4 页 18 CN 109948293 A 18 图5(a) 图5(b) 说明书附图 3/4 页 19 CN 109948293 A 19 图6 说明书附图 4/4 页 20 CN 109948293 A 20 。
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