串联倒立摆的有限频率范围鲁棒迭代学习控制方法.pdf

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1、(19)中华人民共和国国家知识产权局 (12)发明专利申请 (10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 202010674050.3 (22)申请日 2020.07.14 (71)申请人 江南大学 地址 214122 江苏省无锡市滨湖区蠡湖大 道1800号 (72)发明人 陶洪峰魏强周龙辉刘巍 (74)专利代理机构 无锡华源专利商标事务所 (普通合伙) 32228 代理人 聂启新 (51)Int.Cl. G05B 13/04(2006.01) (54)发明名称 一种串联倒立摆的有限频率范围鲁棒迭代 学习控制方法 (57)摘要 本发明公开了一种串联倒立摆的有限频率 范围鲁棒迭代学习控。

2、制方法， 涉及迭代学习控制 领域， 方法包括： 建立串联倒立摆的状态空间方 程； 对原串联倒立摆的状态空间方程进行转换； 根据重复过程理论设计鲁棒迭代学习控制算法； 分析有限频率范围内的鲁棒迭代学习控制算法 的收敛性； 求解鲁棒迭代学习控制算法的控制律 增益。 所提算法将保证系统频域稳定并且具有鲁 棒控制性能， 同时在外界干扰存在时确保输出误 差在时域和频域范围内的收敛性。 本申请不仅考 虑了单个倒立摆子系统时间和运行维度的系统 特性， 而且能直接应用于由多个倒立摆子系统组 成的串联倒立摆系统， 具有较好的控制精度， 对 于控制理论的验证以及具有相似结构系统的研 究具有良好的应用价值。 权利要。

3、求书12页 说明书17页 附图6页 CN 111580392 A 2020.08.25 CN 111580392 A 1.一种串联倒立摆的有限频率范围鲁棒迭代学习控制方法， 其特征在于， 所述方法包 括如下步骤： 第一步： 建立串联倒立摆的状态空间方程； 其中， 式(17)中k表示迭代周期， p表示控制节点序号， t代表连续时间， 串联倒立摆系统工作 于t0,T的重复时间周期内； xk(p,t)Rn， uk(p,t)Rm和yk(p,t)Rl分别表示串联倒立 摆系统第p个节点的状态、 输入和输出信号； vk(p,t)Ri和wk(p,t)Rj分别表示串联倒立 摆系统第p个节点的状态端外部有界扰动和。

4、输出端外部有界扰动信号， 并且扰动信号可导； 权利要求书 1/12 页 2 CN 111580392 A 2 和分别表示适当维数的系统矩阵； m表示摆杆质量， l表示摆杆 质心到转动轴心的距离， J表示摆杆的转动惯量， M表示小车质量， a表示弹簧劲度系数， b表 示小车摩擦系数； 串联倒立摆系统第p个节点的状态会受到前后节点状态的影响， 其中0p -1， 表示串联倒立摆系统的总节点数， 为已知的任意正整数； 不失一般性， 假设串联倒 立摆系统满足边界条件xk(p,0)0， 并且xk(-1,t)0， xk( ,t)0； 第二步： 对原串联倒立摆的状态空间方程进行转换； 对于所述原串联倒立摆的状。

5、态空间方程(17)， 利用提升技术， 定义关于输入、 输出、 状 态和扰动信号的超级矢量Uk(t)， Yk(t)， Xk(t)， Vk(t)， Wk(t)为如下形式： 则所述原串联倒立摆的状态空间方程(17)转换成等效系统： 其中， 第三步： 根据重复过程理论设计鲁棒迭代学习控制算法； 定义所述等效系统输出跟踪误差为 ek(t)Yr(t)-Yk(t) 其中Yr(t)为期望输出信号的超级矢量， 且为连续可导的期望输出轨迹； 针对所述等效系统(19)设计如下形式的迭代学习控制律 Uk(t)Uk-1(t)+Uk(t) (20) 在式(20)中， Uk(t)是当前周期的输入量； Uk-1(t)是前一个。

6、周期的输入量； Uk(t)是控 制系统周期更新的修正量， 为了便于分析， 定义中间变量 k(t)，和 k(t)为 权利要求书 2/12 页 3 CN 111580392 A 3 根据式(19)、 式(20)和式(21)得到： 将式(20)中的迭代学习更新律定义为如下形式： 其中， 其中分别对应将所述迭代学习更新律与所述等效系统(19)结合， 得 到被控系统的重复过程模型为如下形式： 其中， I表示单位矩阵； 所述重复过程模型(26)从系统误差ek-1(t)到系统误差ek(t)之间的传递函数为： 为了进一步表示系统外部有界扰动与系统输出之间的关系， 将式(26)转换成如下形式 权利要求书 3/1。

7、2 页 4 CN 111580392 A 4 的连续离散重复过程模型： 其中， 则所述连续离散重复过程模型(28)从系统外部有界扰动到系统误差ek-1(t)之 间的传递函数为： 表示系统工作频率； 第四步： 分析有限频率范围内的所述鲁棒迭代学习控制算法的收敛性； 本申请的控制目标是设计鲁棒迭代学习控制律使得具有外部有界扰动的所述等效系 统(19)在有限频率范围内鲁棒稳定； 首先应保证在无外部有界扰动情况下所述等效系统 (19)的稳定性； 在无外部有界扰动情况下， 重复过程稳定和误差收敛需要满足三个条件： 条件一： 所述 重复过程模型(26)的矩阵的所有特征值都具有严格的负实部； 条件二： 所述。

8、重复过程模 型(26)的矩阵的谱半径严格小于1； 条件三： 所述重复过程模型(26)传递函数的矩阵 其特征值的模严格小于1； 在无外部有界扰动情况下， 所述重复过程模型(26)在有限频率范围内稳定和误差收敛 的结论为： 对于所述重复过程模型(26)， 若存在对称正定矩阵Q0， P0， Z0和W10使得如下线性矩 阵不等式成立： 则无扰动的等效系统(19)在所述迭代学习更新律(24)的作用下， 输出跟踪误差在低、 中频段范围内沿时间和批次方向单调收敛； 对于重复过程模型(26)， 若存在对称正定矩阵Q0， P0， Z0和W10， 以及标量 0使得如 权利要求书 4/12 页 5 CN 11158。

9、0392 A 5 下线性矩阵不等式成立： 则无扰动的等效系统(19)在所述迭代学习更新律(24)作用下， 输出跟踪误差在高频段 范围内沿时间和批次方向单调收敛； 在无扰动结论的基础上进一步扩展带有外部有界扰动的等效系统(19)在有限频率范 围内鲁棒稳定且具有鲁棒性能的结论； 若所述连续离散重复过程模型(28)从外部有界扰动到系统输出误差之间的传递函数 Gwz(s)满足 |Gwz(s)|0， 根据广义有界实引理中N11-Q可得又因为-2I0所以 根据投影引理得到以下不等式成立： 其中对式(38)使用Schur补引理得到： 根据广义有界实引理G(j)*G(j)2， 得到 (G(j)， 由于 (G(。

10、j)|G(j )|， 则得到： |G(j)|0， Q0， Z0， W10和W20以及给定标 量0使得式(30)和式(31)以及下列矩阵不等式成立： 则在所述迭代学习更新律(24)作用下， 所述等效系统(19)在低、 中频率范围内鲁棒稳 定且具有鲁棒性能， 同时输出跟踪误差沿时间和周期方向收敛； 根据广义有界实引理中N矩阵N11元素在低、 中频范围内和高频范围内的取值可知， 低中 频段为-Q， 高频段为Q， 不同频段取值不同， 当系统工作于高频段时N11Q0， 相应的结论式 (40)无法保证其负定， 因此引入标量 0， 取下列矩阵 权利要求书 6/12 页 7 CN 111580392 A 7 。

11、I I 0, 则得到： 则相应高频段的结论为： 针对式(26)所述的重复过程模型， 给定对称矩阵P0， Q0， Z0， W10和W20以及给定标 量 0和0使得式(32)和式(33)以及下列矩阵不等式成立： 其中T1N11- W1- W1T，则在所述迭代学习更新律(24)作用下， 所述等效系统(19)在高频率范围内鲁棒稳定且具有鲁棒性能， 同时输出跟踪误差沿时间 和周期方向收敛； 第五步： 求解所述鲁棒迭代学习控制算法的控制律增益； 根据式(30)得出式(42) 取取因此- 2I 1I， 定义 2 0， 则得到： 运用投射引理得到如下结果： 将所述重复过程模型的系数矩阵(27)代入式(44)并。

12、在上式不等式左右两边乘以diag S1T,S1T、 diagS1,S1， 其中S1W1-1， 得到如下不等式： 权利要求书 7/12 页 8 CN 111580392 A 8 其中 将所述重复过程模型的系数矩阵式(27)代入式(31)， 因此得到下列不等式： 在式(31)中， 不等式左右两边乘以diagS1T,S1T,I,I、 diagS1,S1,I,I， 其中S1W1-1， 得到下列不等式： 化简得到下列不等式： 其中 将所述重复过程模型的系数矩阵(27)代入式(40)， 得到： 其中， 1N22+ATW1+W1TA+K1TBTW1+W1TBK1,2-K1TBTCTW2-ATCTW2+W1T。

13、BK2,3N22+W2T+W2- K2TBTCTW2-W2TCBK2， 在式(49)左右两边乘以diagS1T,S2T,S1T,S2T,I,I,I、 diagS1,S2,S1,S2,I,I,I， 其中S1 W1-1， S2W2-1得到 权利要求书 8/12 页 9 CN 111580392 A 9 其中， 令X1K1S1， X2K2S2， 对于低、 中频段得出下列结论： 针 对 式 (2 6) 所 述 的 重 复 过 程 模 型 ， 给 定 适 当 维 数 矩阵 X1， X2， 对 称 矩阵 S10和S20以及标量 10， 20使得下列线性矩阵不等式 成立： 则在所述迭代学习更新律(24)作用。

14、下， 所述等效系统(19)在低、 中频率范围内鲁棒稳 定且具有鲁棒性能， 同时输出跟踪误差沿时间和周期方向收敛， 所述迭代学习控制律的 增益由给出； 同时相应高频段的结论为： 针 对 式 (2 6) 所 述 的 重 复 过 程 模 型 ， 给 定 适 当 维 数 矩阵 X1， X2， 对 称 矩阵 权利要求书 9/12 页 10 CN 111580392 A 10 S10和S20以及标量 10， 20和 0使得式(51)以及下列 线性矩阵不等式成立： 其中则在所述迭代学习更新律(24)作 用下， 所述等效系统(19)在高频率范围内鲁棒稳定且具有鲁棒性能， 同时输出跟踪误差 沿时间和周期方向收敛。

15、， 所述迭代学习控制律的增益由K2X2S2-1给出。 2.根据权利要求1所述的串联倒立摆的有限频率范围鲁棒迭代学习控制方法， 其特征 在于， 在所述建立串联倒立摆的状态空间方程的步骤之前， 所述方法还包括： 对串联倒立摆进行建模之前， 对所述串联倒立摆系统作如下假设： (1)摆体是严格的刚体， 运动过程中不会变形， (2)小车与导轨间的摩擦力与相对速度成正比， 忽略空气阻力及其他摩擦力， (3)外力对所述串联倒立摆系统的作用无时滞； 所述串联倒立摆系统包括多个通过弹簧串联的一级倒立摆， 根据牛顿力学先对第p个 节点的一级倒立摆单独进行动力学分析， 利用隔离法将第p个节点的一级倒立摆分为小车 和。

16、摆杆两个部分， 对所述两个部分分别进行受力分析； 对所述小车进行受力分析， 在水平方向上， 由牛顿力学分析得到小车的运动方程为： 在式(1)中， Lp表示第p个节点小车相对初始位置的位移， F表示作用于串联倒立摆系统 上的控制力， Fp-1表示第p-1个节点对第p个节点的作用力， Fp+1表示第p+1个节点对第p个节 点的作用力， FN表示摆杆与小车水平方向的相互作用力， Ff表示小车与导轨间的摩擦力； 由假设得到： 对摆杆进行受力分析， 在水平方向上得到： 权利要求书 10/12 页 11 CN 111580392 A 11 在式(3)中， p表示第p个节点摆杆与竖直向上方向的夹角； 将式(。

17、3)求导展开得到： 同时根据串联倒立摆整体结构得到： 将式(5)、 式(4)和式(2)代入式(1)得到： 将式(6)化简合并得到系统第一运动方程式(7) 对所述摆杆进行受力分析， 根据力矩平衡方程得到： 在式(8)中， FT表示摆杆与小车竖直方向的相互作用力； 在摆杆竖直方向上受力分析得到： 在式(9)中， Gm表示摆杆的重力； 展开式(9)得到： 将式(4)和式(10)代入式(8)得到系统第二运动方程式(11) 为实现串联倒立摆在平衡点附近微小的角度内重复摆动， 同时对所述串联倒立摆系统 变量进行如下近似处理： 同时： 权利要求书 11/12 页 12 CN 111580392 A 12 将。

18、周期变量k和时间变量t加入所述第一运动方程式(7)和所述第二运动方程式(11)中 并根据式(12)和式(13)简化得到串联倒立摆的运动方程为： 由式(14)的第一个方程得到： 将式(15)代入式(14)的第二个方程得到： 将式(16)回代式(15)的第一个方程得到： 取同时设置如下形式状态变量： uk(p,t)Fk(p,t) 并在系统每个倒立摆子系统节点中引入状态端外部有界扰动vk(p,t)和输出端外部有 界扰动信号wk(p,t)， 则得到所述串联倒立摆的状态空间方程。 权利要求书 12/12 页 13 CN 111580392 A 13 一种串联倒立摆的有限频率范围鲁棒迭代学习控制方法 技术。

19、领域 0001 本发明涉及迭代学习控制领域， 尤其是一种串联倒立摆的有限频率范围鲁棒迭代 学习控制方法。 背景技术 0002 串联倒立摆是一个高阶次、 强耦合、 多变量的不稳定复杂系统， 可以直观地反应非 线性、 稳定性和鲁棒性等控制问题， 是对控制理论进行检验的一个良好装置。 串联倒立摆是 由若干个结构相同的倒立摆子系统串联而成， 其中倒立摆子系统具有重要的工程应用背 景。 单级倒立摆的稳定控制在火箭飞行过程中的姿态控制中具有广泛应用。 同时倒立摆与 双足机器人的行走有相似性。 日常生活中重心在上、 支点在下的问题都与倒立摆有极大的 相似性， 故其稳定控制在实际中有广泛的应用， 如海上钻井平。

20、台的稳定控制、 卫星发射架的 稳定控制、 火箭姿态控制、 飞机安全着陆、 化工过程控制等。 因此， 由若干个倒立摆子系统组 合而成的串联倒立摆具有很好的工程应用背景。 0003 目前针对串联倒立摆的控制方法主要有： 专家控制， 模糊控制和神经网络控制等。 专家控制的主体由知识库和推理机构组成， 涉及到知识库的自动更新与规则自动生成， 因 此专家控制在实时性和信息的并行处理方面有很大的局限性。 模糊控制具有较强的鲁棒性 能和容错性能， 但是由于其模糊的特性会导致系统的控制精度和动态品质的降低。 神经网 络控制具有较强的自适应能力， 但是其必须要有已知的具体工程应用数据样本， 同时还需 要足够长的。

21、时间来进行在线或离线学习训练， 因此其收敛速度缓慢。 上述控制方法在系统 的实时性和精确性上均存在较大局限， 难以解决串联倒立摆的轨迹跟踪问题。 发明内容 0004 本发明人针对上述问题及技术需求， 提出了一种串联倒立摆的有限频率范围鲁棒 迭代学习控制方法。 基于提升技术将重复运行的多维串联倒立摆系统转换为等效系统， 然 后为了进一步表示有界扰动与系统输出误差之间的联系， 设计鲁棒迭代学习控制律将被控 系统转换为一类连续离散重复过程模型。 基于重复过程理论， 通过线性矩阵不等式表示鲁 棒迭代学习控制算法。 所提算法将保证系统频域稳定并且具有鲁棒控制性能， 同时在外界 干扰存在时确保输出误差在时。

22、域和频域范围内的收敛性。 0005 本发明的技术方案如下： 0006 一种串联倒立摆的有限频率范围鲁棒迭代学习控制方法， 包括如下步骤： 0007 第一步： 建立串联倒立摆的状态空间方程； 0008 0009 其中， 说明书 1/17 页 14 CN 111580392 A 14 0010 0011 0012 0013 0014 式(17)中k表示迭代周期， p表示控制节点序号， t代表连续时间， 串联倒立摆系统 工作于t0,T的重复时间周期内； xk(p,t)Rn， uk(p,t)Rm和yk(p,t)Rl分别表示串联 倒立摆系统第p个节点的状态、 输入和输出信号； vk(p,t)Ri和wk(。

23、p,t)Rj分别表示串联 倒立摆系统第p个节点的状态端外部有界扰动和输出端外部有界扰动信号， 并且扰动信号 可导；和分别表示适当维数的系统矩阵； m表示摆杆质量， l表 示摆杆质心到转动轴心的距离， J表示摆杆的转动惯量， M表示小车质量， a表示弹簧劲度系 数， b表示小车摩擦系数； 串联倒立摆系统第p个节点的状态会受到前后节点状态的影响， 其 中0p -1， 表示串联倒立摆系统的总节点数， 为已知的任意正整数； 不失一般性， 假设 串联倒立摆系统满足边界条件xk(p,0)0， 并且xk(-1,t)0， xk( ,t)0； 0015 第二步： 对原串联倒立摆的状态空间方程进行转换； 0016。

24、 对于原串联倒立摆的状态空间方程(17)， 利用提升技术， 定义关于输入、 输出、 状 说明书 2/17 页 15 CN 111580392 A 15 态和扰动信号的超级矢量Uk(t)， Yk(t)， Xk(t)， Vk(t)， Wk(t)为如下形式： 0017 0018 则原串联倒立摆的状态空间方程(17)转换成等效系统： 0019 0020 其中， 0021 0022 0023 第三步： 根据重复过程理论设计鲁棒迭代学习控制算法； 0024 定义等效系统输出跟踪误差为 0025 ek(t)Yr(t)-Yk(t) 0026 其中Yr(t)为期望输出信号的超级矢量， 且为连续可导的期望输出轨迹。

25、； 0027 针对等效系统(19)设计如下形式的迭代学习控制律 0028 Uk(t)Uk-1(t)+Uk(t) (20) 0029 在式(20)中， Uk(t)是当前周期的输入量； Uk-1(t)是前一个周期的输入量； Uk(t) 是控制系统周期更新的修正量， 为了便于分析， 定义中间变量 k(t)， k(t)和 k(t)为 0030 0031 根据式(19)、 式(20)和式(21)得到： 说明书 3/17 页 16 CN 111580392 A 16 0032 0033 0034 将式(20)中的迭代学习更新律定义为如下形式： 0035 0036 其中， 0037 0038其中分别对应将迭。

26、代学习更新律与等效系统(19)结合， 得到 被控系统的重复过程模型为如下形式： 0039 0040 其中， 0041 0042 I表示单位矩阵； 0043 重复过程模型(26)从系统误差ek-1(t)到系统误差ek(t)之间的传递函数为： 0044 0045 为了进一步表示系统外部有界扰动与系统输出之间的关系， 将式(26)转换成如下 形式的连续离散重复过程模型： 0046 说明书 4/17 页 17 CN 111580392 A 17 0047 其中， 0048 0049则连续离散重复过程模型(28)从系统外部有界扰动到系统误差ek-1(t)之 间的传递函数为： 0050 0051 表示系统。

27、工作频率； 0052 第四步： 分析有限频率范围内的鲁棒迭代学习控制算法的收敛性； 0053 本申请的控制目标是设计鲁棒迭代学习控制律使得具有外部有界扰动的等效系 统(19)在有限频率范围内鲁棒稳定； 首先应保证在无外部有界扰动情况下等效系统(19)的 稳定性； 0054 在无外部有界扰动情况下， 重复过程稳定和误差收敛需要满足三个条件： 0055条件一： 重复过程模型(26)的矩阵的所有特征值都具有严格的负实部； 0056条件二： 重复过程模型(26)的矩阵的谱半径严格小于1； 0057 条件三： 重复过程模型(26)传递函数的矩阵 其特征值的模严格小于1； 0058 在无外部有界扰动情况下。

28、， 重复过程模型(26)在有限频率范围内稳定和误差收敛 的结论为： 0059 对于重复过程模型(26)， 若存在对称正定矩阵Q0， P0， Z0和W10使得如下线性 矩阵不等式成立： 0060 0061 0062 则无扰动的等效系统(19)在迭代学习更新律(24)的作用下， 输出跟踪误差在低、 中频段范围内沿时间和批次方向单调收敛； 0063 对于重复过程模型(26)， 若存在对称正定矩阵Q0， P0， Z0和W10， 以及标量 0 使得如下线性矩阵不等式成立： 0064 说明书 5/17 页 18 CN 111580392 A 18 0065 0066 则无扰动的等效系统(19)在迭代学习更。

29、新律(24)作用下， 输出跟踪误差在高频段 范围内沿时间和批次方向单调收敛； 0067 在无扰动结论的基础上进一步扩展带有外部有界扰动的等效系统(19)在有限频 率范围内鲁棒稳定且具有鲁棒性能的结论； 0068 若连续离散重复过程模型(28)从外部有界扰动到系统输出误差之间的传递函数 Gwz(s)满足 0069 |Gwz(s)|0， 对于给定系统的传递函数G(s)及其频率响应G(j)C(jI-A)- 1B， 以下不等式等价： 0072 (i)频率响应不等式 0073 0074 (ii)线性矩阵不等式 0075 0076其中Q0， PPT0，系统的频率范围以及不同频率范围内取值如表 1所示 00。

30、77 表1 系统的频率范围 0078 0079注释： 设则 说明书 6/17 页 19 CN 111580392 A 19 0080 0081 N11、 N12、 N21、 N22需要在不同频率范围内具备不同的形式。 0082 将连续离散重复过程模型(28)的系数矩阵(29)代入广义有界实引理的线性矩阵 不等式， 同时令 并 取 频 率 响 应 不 等 式 中 的 矩 阵 则线性矩阵不等式写成： 0083 0084 且式(35)又可以写成： 0085 0086其中对于式(36)中的， 取其次， 取 矩阵 0087 0088 则得到下列等式： 0089 0090其中定义Q0， 根据广义有界实引理。

31、中N11-Q可得又因为-2I0所以 0091根据投影引理得到以下不等式成立： 说明书 7/17 页 20 CN 111580392 A 20 0092 0093其中对式(38)使用Schur补引理得到： 0094 0095 根据广义有界实引理G(j)*G(j)2， 得到 (G(j)， 由于 (G(j)| G(j)|， 则得到： 0096 |G(j)|0， Q0， Z0， W10和W20以及给定标 量0使得式(30)和式(31)以及下列矩阵不等式成立： 0100 0101 则在迭代学习更新律(24)作用下， 等效系统(19)在低、 中频率范围内鲁棒稳定且 具有鲁棒性能， 同时输出跟踪误差沿时间和。

32、周期方向收敛； 0102 根据广义有界实引理中N矩阵N11元素在低、 中频范围内和高频范围内的取值可知， 低中频段为-Q， 高频段为Q， 不同频段取值不同， 当系统工作于高频段时N11Q0， 相应的结 论式(40)无法保证其负定， 因此引入标量 0， 取下列矩阵 0103 0104 则得到： 0105 0106 则相应高频段的结论为： 说明书 8/17 页 21 CN 111580392 A 21 0107 针对式(26)的重复过程模型， 给定对称矩阵P0， Q0， Z0， W10和W20以及给定标 量 0和0使得式(32)和式(33)以及下列矩阵不等式成立： 0108 0109 其中T1N1。

33、1- W1- W1T， T2N11- W2- W2T； 则在迭代学习更新律(24)作用下， 等效系 统(19)在高频率范围内鲁棒稳定且具有鲁棒性能， 同时输出跟踪误差沿时间和周期方向 收敛； 0110 第五步： 求解鲁棒迭代学习控制算法的控制律增益； 0111 上述结论不能直接用于控制律的求解， 需要进行一定的转换才能进行求解。 0112 根据式(30)得出式(42) 0113 0114取取因此- 2I 1I， 定义 20， 则得到： 0115 0116 运用投射引理得到如下结果： 0117 0118 将重复过程模型的系数矩阵(27)代入式(44)并在上式不等式左右两边乘以diag S1T,S。

34、1T、 diagS1,S1， 其中S1W1-1， 得到如下不等式： 0119 0120其中 0121 将重复过程模型的系数矩阵式(27)代入式(31)， 因此得到下列不等式： 说明书 9/17 页 22 CN 111580392 A 22 0122 0123 在式(31)中， 不等式左右两边乘以diagS1T,S1T,I,I、 diagS1,S1,I,I， 其中S1 W1-1， 得到下列不等式： 0124 0125 化简得到下列不等式： 0126 0127其中 0128 将重复过程模型的系数矩阵(27)代入式(40)， 得到： 0129 0130 其中， 0131 1N22+ATW1+W1TA。

35、+K1TBTW1+W1TBK1,2-K1TBTCTW2-ATCTW2+W1TBK2,3N22+W2T+W2- K2TBTCTW2-W2TCBK2， 0132 在式(49)左右两边乘以diagS1T,S2T,S1T,S2T,I,I,I、 diagS1,S2,S1,S2,I,I,I， 其中S1W1-1， S2W2-1得到 说明书 10/17 页 23 CN 111580392 A 23 0133 0134 其中， 0135 0136 令X1K1S1， X2K2S2， 0137 对于低、 中频段得出下列结论： 0138针对式(26)的重复过程模型， 给定适当维数矩阵X1， X2， 对称矩阵 S10和。

36、S20以及标量 10， 20使得下列线性矩阵不等式成立： 0139 0140 0141 0142 则在迭代学习更新律(24)作用下， 等效系统(19)在低、 中频率范围内鲁棒稳定且 具有鲁棒性能， 同时输出跟踪误差沿时间和周期方向收敛， 迭代学习控制律的增益由 给出； 0143 同时相应高频段的结论为： 0144针对式(26)的重复过程模型， 给定适当维数矩阵X1， X2， 对称矩阵 说明书 11/17 页 24 CN 111580392 A 24 S10和S20以及标量 10， 20和 0使得式(51)以及下列线性矩阵 不等式成立： 0145 0146 0147其中则在迭代学习更新律(24)。

37、作 用下， 等效系统(19)在高频率范围内鲁棒稳定且具有鲁棒性能， 同时输出跟踪误差沿时 间和周期方向收敛， 迭代学习控制律的增益由K2X2S2-1给出。 0148 本发明的有益技术效果是： 0149 本申请公开了一种串联倒立摆的有限频率范围鲁棒迭代学习控制方法， 根据重复 过程理论和广义有界实引理， 给出确保系统稳定和具有鲁棒控制性能的充分条件并保证了 输出跟踪误差在时域和频域内的收敛性， 同时将该条件转换成相应的线性矩阵不等式对鲁 棒迭代学习控制律进行求解， 本申请不仅考虑了单个倒立摆子系统时间和运行维度的系统 特性， 而且能直接应用于由多个倒立摆子系统组成的串联倒立摆系统， 具有较好的控。

38、制精 度， 对于控制理论的验证以及具有相似结构系统的研究具有良好的应用价值， 同时， 本申请 的方法结构简单， 易于工程实现。 附图说明 0150 图1是本申请提供的串联倒立摆的迭代学习控制方法的流程图。 0151 图2是本申请提供的串联倒立摆整体结构图。 0152 图3是本申请提供的小车受力分析图。 0153 图4是本申请提供的摆杆受力分析图。 0154 图5是本申请一实施例提供的串联倒立摆系统的输出参考轨迹。 0155 图6是本申请一实施例提供的串联倒立摆系统的输出参考轨迹频谱。 0156 图7是本申请一实施例提供的串联倒立摆第3个子系统的输出变化曲面。 0157 图8是本申请一实施例提供。

39、的串联倒立摆第3个子系统的输入变化曲面。 0158 图9是本申请一实施例提供的串联倒立摆第3个子系统的误差变化曲面。 0159 图10是本申请一实施例提供的串联倒立摆系统的均方根误差变化效果。 说明书 12/17 页 25 CN 111580392 A 25 具体实施方式 0160 下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步说明。 0161 本申请公开了一种串联倒立摆的有限频率范围鲁棒迭代学习控制方法， 其方法流 程图如图1所示， 串联倒立摆本身具有强耦合、 非线性以及不稳定等特点， 对其建立状态空 间模型具有一定的难度。 但是通过对系统的合理假设， 将部分系统变量进行合理的近似后， 就可以使。

40、用经典的牛顿力学在惯性坐标系内对串联倒立摆系统建立的状态空间模型。 0162 在建立串联倒立摆的状态空间方程的步骤之前， 方法还包括： 0163 对串联倒立摆进行建模之前， 对串联倒立摆系统作如下假设： 0164 (1)摆体是严格的刚体， 运动过程中不会变形， 0165 (2)小车与导轨间的摩擦力与相对速度成正比， 忽略空气阻力及其他摩擦力， 0166 (3)外力对串联倒立摆系统的作用无时滞。 0167 串联倒立摆系统包括多个通过弹簧串联的一级倒立摆， 根据牛顿力学先对第p个 节点的一级倒立摆单独进行动力学分析， 利用隔离法将第p个节点的一级倒立摆分为小车 和摆杆两个部分， 对两个部分分别进行。

41、受力分析。 串联倒立摆的物理量参数如表2所示。 0168 表2 串联倒立摆系统物理量参数表 0169 0170 0171 结合图2-图4所示， 对小车进行受力分析， 在水平方向上， 由牛顿力学分析得到小 说明书 13/17 页 26 CN 111580392 A 26 车的运动方程为： 0172 0173 由假设得到： 0174 0175 对摆杆进行受力分析， 在水平方向上得到： 0176 0177 将式(3)求导展开得到： 0178 0179 同时根据串联倒立摆整体结构得到： 0180 0181 将式(5)、 式(4)和式(2)代入式(1)得到： 0182 0183 将式(6)化简合并得到系。

42、统第一运动方程式(7) 0184 0185 对摆杆进行受力分析， 根据力矩平衡方程得到： 0186 0187 在摆杆竖直方向上受力分析得到： 0188 0189 展开式(9)得到： 0190 0191 将式(4)和式(10)代入式(8)得到系统第二运动方程式(11) 0192 0193 为实现串联倒立摆在平衡点附近微小的角度内重复摆动， 同时对串联倒立摆系统 变量进行如下近似处理： 0194 0195 同时： 说明书 14/17 页 27 CN 111580392 A 27 0196 0197 将周期变量k和时间变量t加入第一运动方程式(7)和第二运动方程式(11)中并根 据式(12)和式(1。

43、3)简化得到串联倒立摆的运动方程为： 0198 0199 由式(14)的第一个方程得到： 0200 0201 将式(15)代入式(14)的第二个方程得到： 0202 0203 将式(16)回代式(15)的第一个方程得到： 0204 0205取同时设置如下形式状态变量： 0206 0207 0208 0209 0210 uk(p,t)Fk(p,t) 0211 并在系统每个倒立摆子系统节点中引入状态端外部有界扰动vk(p,t)和输出端外 部有界扰动信号wk(p,t)， 则得到串联倒立摆的状态空间方程： 说明书 15/17 页 28 CN 111580392 A 28 0212 0213 针对式(1。

44、7)所描述的串联倒立摆， 选取各项结构参数值分别为： 0214 M1(kg),m0.2(kg),l0.3(m),a1(N/m),b0.3(N/m/sec),g9.8(m/s2), J0.006(kgm2). 0215 同时取串联倒立摆各子系统的状态初值xk(p,0)0， uk(p,0)0。 根据式(17)系统 各个参数矩阵为 0216 0217 设定串联倒立摆包含6个子系统节点， 根据串联倒立摆系统的特点， 定义每个子系 统各个节点具有相同的参考轨迹， 考虑分别定义每个节点摆杆摆动角度的参考轨迹为： 0218 0219 倒立摆的参考轨迹角度在STM32F103C8T6单片机内进行设定， 参考轨。

45、迹在时域中 的曲线如图5所示， 绘制相应的频谱曲线如图6所示， 由图6可知参考轨迹的有效谐波在0到 1 0 H Z 之 间 全 部 衰 减 ， 因 此 可 以 直 接 选 取 该 频 段 为 系 统 运 行 的 低 频 范 围 ， 即 对应于系统运行的低频范围。 同时， 假设每个倒立摆子系统的状态端 外界扰动为 0220 vk(p,t)0.01sin(kt),p1,2,6. 0221 以及输出端外界扰动为 0222 wk(p,t)0.01sin(kt),p1,2,6. 0223 给定系统的鲁棒性能指标0.9， 并求解式(51)、 式(52)和式(53)的线性矩阵不 等式可得迭代学习更新律(24。

46、)中的矩阵增益为 0224 说明书 16/17 页 29 CN 111580392 A 29 0225 上述迭代学习控制器算法通过一块STM32F103C8T6芯片实现。 整体系统由 STM32F103C8T6单片机、 MG513编码器、 直流电机、 倒立摆机械机构和WDD35D4角传感器等几 部分组成。 利用WDD35D4角传感器作为摆杆摆动角度的传感器， 对摆杆倾角进行角度检测， 并将检测到的实时角度模拟量传送给STM32F103C8T6单片机。 STM32F103C8T6单片机进行A/ D转换并实时处理， 与给定参考轨迹比较并计算偏差。 同时利用MG513编码器作为小车的位 移传感器， 。

47、对底座位置进行位置检测， 将检测到的实时位置信息传送单片机内。 利用摆杆角 度偏差信号与小车实时位置信号构建迭代学习更新律， 并通过单片机计算与上一周期的控 制信号结合得到前周期的控制信号Uk(t)， 控制信号通过D/A转换电路， 控制执行机构直流 电机工作， 使底座在皮带上重复执行水平运动的动作， 不断修正倒立摆摆杆的输出角度， 从 而使串联倒立摆的摆杆能够精确跟踪上给定的期望轨迹。 0226 由于篇幅限制此处仅给出第3个子系统状态。 图7表示串联倒立摆第3个子系统的 输出变化曲面， 图8为串联倒立摆第3个子系统的输入变化曲面， 图9为串联倒立摆第3个子 系统的误差变化曲面。 为进一步评价系。

48、统跟踪性能， 引入性能指标： 0227 0228 图10表示串联倒立摆的均方根误差变化效果， 在有限频率范围内设计的鲁棒迭代 学习控制方案使得串联倒立摆稳定。 第3个节点以及整体系统的摆角跟踪过程不受到外部 有界扰动的影响， 摆角的跟踪误差可以收敛到零。 0229 以上所述的仅是本申请的优选实施方式， 本发明不限于以上实施例。 可以理解， 本 领域技术人员在不脱离本发明的精神和构思的前提下直接导出或联想到的其他改进和变 化， 均应认为包含在本发明的保护范围之内。 说明书 17/17 页 30 CN 111580392 A 30 图1 说明书附图 1/6 页 31 CN 111580392 A 31 图2 图3 说明书附图 2/6 页 32 CN 111580392 A 32 图4 图5 说明书附图 3/6 页 33 CN 111580392 A 33 图6 图7 说明书附图 4/6 页 34 CN 111580392 A 34 图8 图9 说明书附图 5/6 页 35 CN 111580392 A 35 图10 说明书附图 6/6 页 36 CN 111580392 A 36 。