对称型过约束结构体系的几何稳定性判别方法.pdf

本发明公开了一种对称型过约束结构体系的可动性判别方法，主要包括：确定结构所属对称群，计算结构的相对自由度，并求解机构位移模态和自应力模态；随后，预测机构位移模态和自应力模态的对称属性，并判断二者是否含有相同阶对称性；若不含有，则可判别结构的几何稳定性，否则求解二者的全部对称属性后再判别结构的几何稳定性；最后，当满足判别条件时，完成结构几何稳定性的判别，过程结束，否则，将所属对称群降阶后，重新判别结构的几何稳定性。

权利要求书
1.  一种对称型过约束结构体系的几何稳定性判别方法，其特征在于，该方法
步骤1建立对称型过约束结构体系的整体位移协调矩阵J，并通过所述整体位移协调矩阵J的零空间求解结构的机构位移模态和自应力模态，所述机构位移模态的数量为m，所述自应力模态的数量为s；
步骤2确定待判别对称过约束结构体系的所属对称群，计算整体结构在不同对称操作下的相对自由度，再将各对称操作下的相对自由度组成自由度向量，所述自由度向量Γm-s为：
Γm-s＝M-S＝(T+R)×[N-G-Γ(1)]+F
其中向量M和向量S分别是机构位移模态数的对称表示和自应力模态数的对称表示，向量T和向量R分别是刚体平动位移模数的对称表示和刚体转动位移模数的对称表示，向量N和向量G分别是待判定对称型过约束结构体系中节点的对称表示和单元的对称表示，向量Γ(1)为结构所属对称群的第1类不可约表示，向量F为体系允许的运动自由度总和的对称表示；
步骤3首先将所述自由度向量Γm-s约简为如下所示的各类不可约表示的线性组合：
M-S=Σi=1μαiΓ(i),]]>
其中Γ(i)为结构所属对称群的第i类不可约表示，αi为不可约表示Γ(i)的权重系数，μ为所属对称群的不可约表示的总类型数；
然后根据所述权重系数αi分别预测机构位移模态及自应力模态的对称属性如下：
Γ(i)&Subset;{Mαi>0Sαi<0,&ForAll;i&Element;&lsqb;1,μ&rsqb;]]>
当αi＞0时，待判定对称型过约束结构体系的机构位移模态具有所属对称群的第i类不可约表示Γ(i)所对应的对称属性；当αi＜0时，待判定对称型过约束结构体系的自应力模态具有第i类不可约表示Γ(i)所对应的对称属性；
步骤4结合所述的机构位移模态数量m和步骤3中所得的机构位移模态数的对称表示M，判断所述机构位移模态及自应力模态是否含有相同阶次的对称性，如果二者不含有相同阶次的对称性，则进入步骤5；否则，在建立结构体系的对称坐标系， 求解待判别结构的机构位移模态及自应力模态的全部对称属性后，进入步骤5；
步骤5如果机构位移模态的最高阶对称属性为全对称，自应力模态的最高阶对称属性为非全对称，则自应力模态无法平衡结构的机构位移模态所产生的运动趋势，将无法传递一阶刚度，结构是几何不稳定的，判别过程结束；
如果机构位移模态及自应力模态的最高阶对称属性均为非全对称，则根据待判别对称过约束结构体系的机构位移模态的最高阶对称属性，对所属对称群进行降阶，得到待判别结构的新的所属对称群后，返回步骤2；
在机构位移模态的最高阶对称属性为非全对称，自应力模态的最高阶对称属性为全对称时，以及机构位移模态及自应力模态的最高阶对称属性均为全对称时，则自应力模态具有传递一阶刚度的能力，需采用能量法深入判别结构的高阶刚度，判别过程结束。

2.  根据权利要求1所述的对称型过约束结构体系的几何稳定性判别方法，其特征在于，所述步骤5中，按照如下方法对所属对称群进行降阶：使待判别结构沿着所述最高阶对称属性的机构位移路径发生给定变形Δ，变形后的待判别结构的所属对称群为原结构所属对称群的子对称群，即待判别结构的新的所属对称群。

3.  根据权利要求2所述的对称型过约束结构体系的几何稳定性判别方法，其特征在于，所述的给定变形Δ是基于具有最高阶对称属性的机构位移模态，即Δ＝β·Im，其中，β为幅值系数，0＜β≤0.25Lmin，Lmin为结构中最短构件单元的长度，Im为所述具有最高阶对称属性的机构位移模态向量。

说明书对称型过约束结构体系的几何稳定性判别方法
技术领域
本发明属于空间结构设计领域，涉及一种对称型过约束结构的几何稳定判别方法。
背景技术
近年来，可展结构成功应用于航空航天、先进机构学与机器人、现代空间结构等领域，该类结构无法维持几何稳定性，能够呈现出连续、显著的几何构形变化。因而，对称型过约束结构体系的几何稳定性判别，是新型机构与可展结构初步设计过程中的一个重要环节。Calladine和Pellegrino提出的几何稳定性判别方法，可有效应用于自应力模数较低的常规杆系结构。但是，随着结构逐渐复杂化，结构的自应力模态数增长，该判别准则的求解效率显著下降，甚至无法判别。尽管有学者采用考虑杆件类型、节点受力特点等优化方法，提高对称型过约束结构体系几何稳定性判别的效率，但忽视了结构的固有对称属性。对称型过约束结构体系拥有多个旋转、镜像对称操作，采用基于群集理论的对称分析方法能充分利用结构的对称属性，避免常规判别方法的复杂运算。
此外，目前常规的结构几何稳定性判别方法更加侧重于验证几何稳定的结构，在张拉整体结构及其他张力体系中具有重要应用价值。在可展结构的设计分析过程中，用常规判定方法探究对称型过约束结构体系是否几何不稳定时，尚缺乏足够的说服力。
发明内容
技术问题：本发明的目的是提供一种对称型过约束结构体系的几何稳定性判别方法，重点解决机构学及现代空间结构领域中对称型过约束结构的几何稳定性难题，尤其适用于新型对称可展结构及先进机构的初步设计分析。鉴于常规几何稳定性判别手段探究自应力模态数较高的结构时，计算过程复杂，且难以验证结构的几何稳定性能，本发明的关键技术问题是如何高效准确地评判对称型过约束结构的几何稳定性。
技术方案：本发明结合过约束结构固有的对称属性及群论方法，将对称型过约束结构体系的相对自由度向量约简为不同对称属性的线性组合，从而获悉机构位移模态及自应力模态的对称属性，并有效判别对称过约束结构的几何稳定性。技术方案如下：
本发明的对称型过约束结构体系的几何稳定判别方法，包括以下步骤：
步骤1建立对称型过约束结构体系的整体位移协调矩阵J，并通过所述整体位移协调矩阵J的零空间求解结构的机构位移模态和自应力模态，所述机构位移模态的数量为m，所述自应力模态的数量为s；
步骤2确定待判别对称过约束结构体系的所属对称群，计算整体结构在不同对称操作下的相对自由度，再将各对称操作下的相对自由度组成自由度向量，所述自由度向量Γm-s为：
Γm-s＝M-S＝(T+R)×[N-G-Γ(1)]+F
其中向量M和向量S分别是机构位移模态数的对称表示和自应力模态数的对称表示，向量T和向量R分别是刚体平动位移模数的对称表示和刚体转动位移模数的对称表示，向量N和向量G分别是待判定对称型过约束结构体系中节点的对称表示和单元的对称表示，向量Γ(1)为结构所属对称群的第1类不可约表示，向量F为体系允许的运动自由度总和的对称表示；
步骤3首先将所述自由度向量Γm-s约简为如下所示的各类不可约表示的线性组合：
M-S=Σi=1μαiΓ(i),]]>
其中Γ(i)为结构所属对称群的第i类不可约表示，αi为不可约表示Γ(i)的权重系数，μ为所属对称群的不可约表示的总类型数；
然后根据所述权重系数αi分别预测机构位移模态及自应力模态的对称属性如下：
Γ(i)&Subset;{Mαi>0Sαi<0,&ForAll;i&Element;&lsqb;1,μ&rsqb;]]>
当αi＞0时，待判定对称型过约束结构体系的机构位移模态具有所属对称群的第i类不可约表示Γ(i)所对应的对称属性；当αi＜0时，待判定对称型过约束结构体系的自应力模态具有第i类不可约表示Γ(i)所对应的对称属性；
步骤4结合所述的机构位移模态数量m和步骤3中所得的机构位移模态数的对称表示M，判断所述机构位移模态及自应力模态是否含有相同阶次的对称性，如果二者不含有相同阶次的对称性，则进入步骤5；否则，在建立结构体系的对称坐标系，求解待判别结构的机构位移模态及自应力模态的全部对称属性后，进入步骤5；
步骤5如果机构位移模态的最高阶对称属性为全对称，自应力模态的最高阶对称属性为非全对称，则自应力模态无法平衡结构的机构位移模态所产生的运动趋势，将无法传递一阶刚度，结构是几何不稳定的，判别过程结束；
如果机构位移模态及自应力模态的最高阶对称属性均为非全对称，则根据待判别对称过约束结构体系的机构位移模态的最高阶对称属性，对所属对称群进行降阶，得到待判别结构的新的所属对称群后，返回步骤2；
在机构位移模态的最高阶对称属性为非全对称，自应力模态的最高阶对称属性为全对称时，以及机构位移模态及自应力模态的最高阶对称属性均为全对称时，则自应力模态具有传递一阶刚度的能力，需采用能量法深入判别结构的高阶刚度，判别过程结束。
进一步的，本发明方法中，所述步骤5中，按照如下方法对所属对称群进行降阶：使待判别结构沿着所述最高阶对称属性的机构位移路径发生给定变形Δ，变形后的待判别结构的所属对称群为原结构所属对称群的子对称群，即待判别结构的新的所属对称群。
进一步的，本发明方法中，所述的给定变形Δ是基于具有最高阶对称属性的机构位移模态，即Δ＝β·Im，其中，β为幅值系数，0＜β≤0.25Lmin，Lmin为结构中最短构件单元的长度，Im为所述具有最高阶对称属性的机构位移模态向量。
本发明利用结构存在的对称性，不按已有方法直接去评估结构几何稳定性。而是引入对称方法，先计算两种模态的对称表示(步骤2)，进而确定机构位移模态的最高阶对称属性后(步骤3、4)，利用对称关联的物理意义，直观判别出大部分结构的几何稳定性，避免了复杂的运算和分析手段。
有益效果：本发明与现有技术相比，具有以下优点：
常规判别结构几何稳定性的方法手段均忽略了结构的固有对称性，需根据能量原理判别一系列刚度矩阵的正定性，结构规模大或几何构形复杂时，运算量非常大，且 求解难度倍增。而本发明结合群论方法，充分利用了过约束结构的固有对称性，通过独立计算结构在不同对称操作下的相对自由度，仅进行简单的向量运算及约简，即可对大部分过约束体系完成结构几何稳定性判别，不需要判别一系列大规模矩阵的正定性。当结构的自应力模态数较大，或结构为高阶对称时，本发明的计算效率提高非常显著。
此外，常规方法为了计算相关的刚度矩阵的正定性，需要给定结构的节点坐标、连接方式、边界约束条件以及材料信息和截面信息等，每次仅能针对某一具体结构完成单次几何稳定性判别，相似几何构形的结构仍需要重复性的判别分析。相反，由于本发明公开的判别方法仅需考虑结构中构件的连接方式和节点的相对位置，避免了对具有相同对称性及几何拓扑的结构进行重复判别计算，非常适用于可展结构的初步设计分析，便于设计人员推广应用。
附图说明
图1为本发明判别对称型过约束结构体系几何稳定性的技术流程图。
图2a为正六面对称型过约束结构的构件连接方式示意图，图2b为典型构件示意图。
图3为正六面体结构初始几何构形。
图4为正六面体结构发生微小变形Δ后的几何构形。
图中有：1～8分别为正六面体结构的八个连接节点，9为节点与构件相连的转动副单元，10为正六面体结构的组成构件单元。
具体实施方式
下面结合实施例和说明书附图对本发明作进一步的说明。
本发明方法中，对称型过约束结构体系是由一系列构件通过转动副、滑移副等复杂连接节点连接而成，且节点、连接构件关于结构中心点存在多个旋转及镜像对称操作。该判别方法的具体步骤如下：
1)分析准备
明确待判别过约束结构的几何构形，包括结构中各连接节点的编号及相对位置，各构件的连接方。并根据结构固有的对称操作，确定待判别结构所属的对称群类型。对称操作是指对原结构进行旋转、镜像等有效操作变换后，结构几何构形仍不发生变 化。根据群论参考书，可查阅得结构所述对称群的不可约表示和特征标值。
2)建立对称型过约束结构的位移协调矩阵，求解结构的机构位移模态及自应力模态
设结构由n个连接节点和g个构件单元构成，结构允许的运动自由度的总和为f。由各节点位移与构件变形之间的位移协调关系，通过常规矩阵集成方法建立整体结构的位移协调矩阵J。随后，采用奇异值分解法，求得矩阵J的零空间。由于位移协调矩阵J的零空间包含了结构的机构位移模态，且机构位移模态的数量m为：
m＝(t+r)n-j-t-r(1)
式中，j为位移协调矩阵J的秩，t为结构所处坐标系下的刚体平动位移模数(平面过约束体系t＝2，空间结构体系t＝3)，r为结构所处坐标系下的刚体转动位移模数(平面过约束体系r＝1，空间结构体系r＝3)。另外，通过奇异值分解法，位移协调矩阵J的左零空间也包含了结构的自应力模态，且自应力模态数s为：
s＝(t+r)g-j-f(2)
3)计算整体结构在不同对称操作下的相对自由度，并基于特征标，将求得的自由度向量约简为不可约表示的线性组合
将上式(2)与式(1)相减，即为结构的相对自由度，
m-s＝(t+r)(n-g-1)+f(3)
基于群论方法，计算结构在不同对称操作下的相对自由度，并将各对称操作下的相对自由度组成自由度向量，得到结构自由度向量Γm-s为：
Γm-s＝M-S＝(T+R)×[N-G-Γ(1)]+F(4)
其中向量M和向量S分别是机构位移模态数和自应力模态数的对称表示，向量T和向量R分别是刚体平动位移模数和刚体转动位移模数的对称表示，向量N和向量G分别是待判定对称型过约束结构体系的节点和单元的对称表示，其中任一元素N(γ)、G(γ)为所属对称群中第γ类对称操作下结构不动节点、不动单元的数量；向量Γ(1)为结构所属对称群的第1类不可约表示，其特征标值总满足χ(Γ(1))＝1；向量F为体系允许的运动自由度总和的对称表示。需要说明的是，群论方法中已给出了任意对称群所包含的对称操作、不可约表示和特征标值，其中不同的不可约表示关联着不同阶次的对 称性。例如，结构所属对称群共具有μ类独立的不可约表示，其中第1类不可约表示所关联的对称阶次最高，具有结构所属对称群的全部对称属性；而第μ类不可约表示所关联的对称阶次最低。
根据所属对称群的不可约表示及其特征标值，结构自由度向量Γm-s可约简为各类不可约表示的线性组合：
Γm-s=M-S=Σi=1μαiΓ(i)---(5)]]>
式中Γ(i)为结构所属对称群的第i类不可约表示，αi为不可约表示Γ(i)的权重系数，μ为不可约表示的总类型数。
4)分别预测机构位移模态及自应力模态的对称属性
基于第2)、3)步所得计算结果，结构的机构位移模态数及自应力模态数均非负、已知，可通过结构自由度向量Γm-s中权重系数αi，分别预测机构位移模态及自应力模态的对称属性：
Γ(i)&Subset;{Mαi>0Sαi<0,&ForAll;i&Element;&lsqb;1,μ&rsqb;---(6)]]>
(1)当αi＞0时，机构位移模态具有第i类不可约表示所对应的对称属性；
(2)当αi＜0时，自应力模态具有第i类不可约表示所对应的对称属性。
最终，根据机构位移模态具有的所有对称属性，确定其最高阶项(对应的机构位移模态具有最多种类的对称操作)；同理，求出自应力模态的最高阶对称属性。
5)判断机构位移模态与自应力模态是否含有相同阶对称性
判断机构位移模态及自应力模态是否含有相同阶次的对称属性，如果二者不含有相同阶次的对称属性，则可根据机构位移模态和自应力模态的对称阶次，进一步判别结构的几何稳定性。否则，建立结构的对称坐标系，求解机构位移模态及自应力模态的全部对称属性，并根据机构位移模态和自应力模态的对称阶次，判别结构的几何稳定性。
6)结构几何稳定性判别
结构几何稳定性判别条件：机构位移模态最高阶对称属性为全对称，自应力模态最高阶对称属性为非全对称；
当结构满足上述几何稳定性判别条件时，结构的自应力模态无法平衡内部机构位移模态所产生的运动趋势，将无法传递一阶刚度，结构几何不稳定，判别过程结束；
另一方面，当结构不满足上述几何稳定性判别条件时，尚且不能直接判别结构的几何稳定性，需要在低阶对称群中进一步探究结构的几何稳定性，进入第7)步；
如果待判别结构存在严重不对称的初始缺陷、或机构位移模态与自应力模态的最高阶对称属性均为全对称、或结构的对称属性已降阶为最低阶时，无法通过本发明公开的判别方法直接判定结构的几何稳定性，判定过程结束，需采用能量法等作更深入的判别分析。
7)对结构所属的对称群进行降阶
当结构的机构位移模态的最高阶对称属性为非全对称时，假定结构沿着具有该非全对称属性的机构位移发生微小变形，结构将产生新的构形。需指出，所给定的微小变形Δ是基于具有最高阶对称属性的机构位移模态，即Δ＝β·Im，其中，β为幅值系数，0＜β≤0.25Lmin，Lmin为结构中最短构件单元的长度，Im为所述具有最高阶对称属性的机构位移模态向量。此时，原结构所属对称群的部分对称操作不再成立，新结构只具有原结构拥有的部分对称属性。因此，新结构构形所属对称群为原结构所属对称群的子对称群。依据机构位移模态的最高阶对称属性，对原结构所属的对称群进行降阶，即得到新结构构形所属的对称群。可根据群论参考书中各对称群的子群及对应降阶方式查阅得到。
为了更加清晰地说明上述步骤，绘制了本发明判别对称型过约束结构体系几何稳定性的技术流程图，如图1所示。现以一正六面体对称型过约束为例来阐述本方法的具体实施方式，如下：
如图2所示，该结构包含八个节点和十二根常规连杆单元。各单元拥有独立的局部坐标系，其中x轴沿着连杆单元的轴线方向，z轴与连接结构中心及单元中心的直线垂直，转动副轴心线与局部坐标系z轴平行，每根连杆单元允许两个运动自由度。经计算求得整体结构的位移协调矩阵的秩为j＝41，机构位移模态数及自应力模态数为m＝1、s＝1。
由于结构构形在多种旋转、镜像、逆等对称操作下保持不变，可知该结构具有正 六面体拥有的全部对称操作，结构所属的对称群为正六面体对称群(又称Oh对称群)。表1为Oh对称群的特征标值，表中第一行分别表示结构拥有的48种不同的对称操作，第一列分别表示10种独立的不可约表示。
表1Oh对称群的特征标值

根据Γm-s＝M-S＝(T+R)×[N-G-Γ(1)]+F以及表1中的特征标值，分别计算该过约束结构体系在各对称操作下的相对自由度，见表2。
表2正六面体结构在Oh群中的相对自由度

根据式表2最后一行计算结果可约简为：
M-S＝Γ(7)-Γ(4)-Γ(6)-Γ(9)
由于M≥0，S≥0，且该结构的机构位移模态数和自应力模态数为m＝1，s＝7。因此，机构位移模态和自应力模态并不含有相同阶次的对称性，求得二者的对称表示分别为：
M＝Γ(7)，S＝Γ(4)+Γ(6)+Γ(9)
此时，结构并不满足判别条件，需要进一步在低阶对称群Td中求解机构位移模态和自应力模态的对称属性。
根据对称群的降阶方式，结构对称属性由Oh对称(图3)降为Td对称(图4)。采用式Γm-s＝M-S＝(T+R)×[N-G-Γ(1)]+F重新计算机构位移模态及自应力模态的对称表示：

可约简为：
Γm-s＝M-S＝Γ(1)-Γ(2)-2Γ(4)
因此：
M＝Γ(1)，S＝Γ(2)+2Γ(4)
由于机构位移模态Γ(1)为全对称，而自应力模态最高对称属性为Γ(2)，并非全对称，满足结构几何稳定性的判别条件，因此结构是几何不稳定的。需要指出，采用所述判别准则对正六面体过约束体系的分析结果与基于雅克比方法及多刚体动力学方法所得结论完全一致，因此，该正六面体结构是单自由度可展结构。
上述实施例仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和等同替换，这些对本发明权利要求进行改进和等同替换后的技术方案，均落入本发明的保护范围。