一种地磁导航基准图构建方法.pdf

一种地磁导航基准图构建方法，其特征在于：通过建立多重分形模型，拟合最佳逼近时测度与尺度的关系，从而确定每个局部区域的测度，求解待插点的校正系数，并且利用多重分形克里金插值法构建基准图。本发明有效增强对地磁异常场局部奇异性的描述，有效提高传统方法的构图精度。

1.一种地磁导航基准图构建方法，其特征在于：通过建立多重分形模型，拟合最佳逼近
时测度与尺度的关系，从而确定每个局部区域的测度，求解待插点的校正系数，并且利用多
重分形克里金插值法构建基准图。
2.根据权利要求1所述的一种地磁导航基准图构建方法，其特征是所述的建立多重分
形模型方法为：把研究对象划分为N个不同的局部区域，用大小为δ×δ的规则网格去覆盖这
N个局部区域，第i个网格中局部区域的分布概率为pi(δ)，且满足用不同的标
度指数ai表示，数学语言描述为：
$p_i\left(\mathrm{\δ}\right)={\mathrm{\δ}}^{a_i},i=1,2,...,N---\left(1\right)$
将式(1)两边同时乘以q次方并取和得：
$\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{p}_i^q=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\δ}}^{a_{i}q}---\left(2\right)$
当尺度趋近于零时
$\underset{\mathrm{\δ}\→0}{\lim }\frac{1}{q-1}\·\frac{ln\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{p}_i^q}{ln\mathrm{\δ}}=D_q---\left(3\right)$
3.根据权利要求1所述的一种地磁导航基准图构建方法，其特征是所述的拟合最佳逼
近时测度与尺度的关系方法为：
测度与尺度满足如下指数关系
m∝δD,D＝1,2,3... (4)
式中，m是尺度δ下的测度，
实际情况还需考虑诸多因素的影响，尺度和对应的测度不能完全符合式(4)这种理想
的状态，拟合最佳逼近时的关系表达式为
m＝bδa (5)
式中，a，b为常数。由于拟合过程中原幂指数D已经不满足严格相关分形维数的定义，因
此用a代替D，a表示待插值点在其小邻域内的凹凸特性。
4.根据权利要求1所述的一种地磁导航基准图构建方法，其特征是所述的确定每个局
部区域的测度方法为：
对于三维空间中的曲面，由二重积分的物理意义可知，在单位面密度条件下，其测度可
以理解为曲面与坐标轴所成图形的体积。则
m(s,δ)＝f(s,δ)·Sδ (6)
式中：f(s,δ)为高，在本文表示为地磁场强度值。由式(6)可知以s点为中心，以δ为尺度
的正方形领域内测度为f(s,δ)·δ2，同时根据分形理论公式(5)可知测度为b·δa，联立可得
f(s,δ)·δ2＝b(s)·δa(s) (7)
5.根据权利要求1所述的一种地磁导航基准图构建方法，其特征是所述的求解待插点
的校正系数方法为：
二维空间求测度时，若某一区域内的离散点按照等步长均匀分布，则可以以待插值点
为中心，相邻数据点间最小距离的奇数倍为边长建立若干正方形盒子，则待插值点的面密
度等价于盒子内所有离散点的地磁场强度平均值，再依据式(6)用面密度乘以盒子面积可
求测度值m。尺度δ和盒子数N是在盒计数法中设定的，即也是已知值，则可依据式(5)，可求
奇异系数a和校正系数N2-a。
6.根据权利要求1所述的一种地磁导航基准图构建方法，其特征是所述的利用多重分
形克里金插值法构建基准图方法为：
Zδ＝N2-a·ZNδ (8)
式中ZNδ、Zδ分别为Nδ、δ邻域内地磁场强度的均值，N为最大尺度与最小尺度的比值。对
此区域进行克里金插值，即估计尺度为N·δ的正方形范围内地磁场强度的平均值。多重分
形理论的估计区域与克里金插值法的搜索区域之间的转换关系为：
(N·δ)2＝πR2 (9)
式中，R为克里金插值法搜索的圆区域的半径。由式(9)即可求出克里金插值的搜索半
径。由于数据点是按均匀网格分布的，为保证估计区域内所包含的数据点个数相同，取克里
金插值的搜索半径为
$R=\frac{\sqrt{2}}{2}(N\·\mathrm{\δ})---\left(10\right)$
即尺度为Nδ的正方形区域是克里金插值的搜索圆域内所能包含的最大正方形。克里金
插值公式为：
$Z_{Nl}(x_0,y_0)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}({\mathrm{\λ}}_i\·Z(x_i,y_i\left)\right)---\left(11\right)$
将式(11)代入式(8)得
$Z_l(x_0,y_0)=N^{2-a}\·\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}({\mathrm{\λ}}_i\·Z(x_i,y_i\left)\right)---\left(12\right)$
对于n维插值问题
$Z_l(x_0,y_0)=N^{n-a}\·\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}({\mathrm{\λ}}_i\·Z(x_i,y_i\left)\right)---\left(13\right)$

一种地磁导航基准图构建方法

技术领域

本发明涉及的是一种地磁导航技术，尤其涉及到一种地磁导航基准图构建方法。

背景技术

地磁场是地球的固有资源，为航空、航天、航海提供了天然的坐标系。地磁图和地
磁模型是描述地球磁场的主要手段，也是开展地磁导航及其军事应用的技术工具，其精确
程度是决定地磁导航可行性的关键因素。本发明研究高精度地磁基准图的构建对实现高精
度地磁导航定位而言具有重要意义。

发明内容

本发明的目的在于提供一种地磁导航基准图构建方法，是实现高精度地磁导航的
重要前提。

本发明的目的是这样实现的：

一种地磁导航基准图构建方法，其特征在于：通过建立多重分形模型，拟合最佳逼
近时测度与尺度的关系，从而确定每个局部区域的测度，求解待插点的校正系数，并且利用
多重分形克里金插值法构建基准图。

所述的一种地磁导航基准图构建方法，其特征是所述的建立多重分形模型方法
为：把研究对象划分为N个不同的局部区域，用大小为δ×δ的规则网格去覆盖这N个局部区
域，第i个网格中局部区域的分布概率为pi(δ)，且满足用不同的标度指数ai表
示，数学语言描述为：

将式(1)两边同时乘以q次方并取和得：

当尺度趋近于零时

所述的一种地磁导航基准图构建方法，其特征是所述的拟合最佳逼近时测度与尺
度的关系方法为：

测度与尺度满足如下指数关系

m∝δD,D＝1,2,3... (4)

式中，m是尺度δ下的测度，

实际情况还需考虑诸多因素的影响，尺度和对应的测度不能完全符合式(4)这种
理想的状态，拟合最佳逼近时的关系表达式为

m＝bδa (5)

式中，a，b为常数。由于拟合过程中原幂指数D已经不满足严格相关分形维数的定
义，因此用a代替D，a表示待插值点在其小邻域内的凹凸特性。

所述的一种地磁导航基准图构建方法，其特征是所述的确定每个局部区域的测度
方法为：对于三维空间中的曲面，由二重积分的物理意义可知，在单位面密度条件下，其测
度可以理解为曲面与坐标轴所成图形的体积。则

m(s,δ)＝f(s,δ)·Sδ (6)

式中：f(s,δ)为高，在本文表示为地磁场强度值。由式(6)可知以s点为中心，以δ为
尺度的正方形领域内测度为f(s,δ)·δ2，同时根据分形理论公式(5)可知测度为b·δa，联立
可得

f(s,δ)·δ2＝b(s)·δa(s) (7)

所述的一种地磁导航基准图构建方法，其特征是所述的求解待插点的校正系数方
法为：二维空间求测度时，若某一区域内的离散点按照等步长均匀分布，则可以以待插值点
为中心，相邻数据点间最小距离的奇数倍为边长建立若干正方形盒子，则待插值点的面密
度等价于盒子内所有离散点的地磁场强度平均值，再依据式(6)用面密度乘以盒子面积可
求测度值m。尺度δ和盒子数N是在盒计数法中设定的，即也是已知值，则可依据式(5)，可求
奇异系数a和校正系数N2-a。

所述的一种地磁导航基准图构建方法，其特征是所述的利用多重分形克里金插值
法构建基准图方法为：

Zδ＝N2-a·ZNδ (8)

式中ZNδ、Zδ分别为Nδ、δ邻域内地磁场强度的均值，N为最大尺度与最小尺度的比
值。对此区域进行克里金插值，即估计尺度为N·δ的正方形范围内地磁场强度的平均值。多
重分形理论的估计区域与克里金插值法的搜索区域之间的转换关系为：

(N·δ)2＝πR2 (9)

式中，R为克里金插值法搜索的圆区域的半径。由式(9)即可求出克里金插值的搜
索半径。由于数据点是按均匀网格分布的，为保证估计区域内所包含的数据点个数相同，取
克里金插值的搜索半径为

即尺度为Nδ的正方形区域是克里金插值的搜索圆域内所能包含的最大正方形。克
里金插值公式为：

将式(11)代入式(8)得

对于n维插值问题

附图说明

图1为地磁导航基准图构建流程图；

图2某区域地磁基准图仿真结果。

本发明的技术方案的实质是：将多重分形理论和克里金法相结合，提出多重分形
克里金插值法，采用逐步插值校正的方法进行地磁基准图的构建。实验结果表明，该方法能
够有效增强对地磁异常场局部奇异性的描述，有效提高传统方法的构图精度。

该技术方案的优点在于：

⑴弥补了传统插值方法的低通滤波性；

⑵能够表现出更多的隆起或下陷等奇异特征，并且具有良好的插值效果，构图精
度高。

具体实施方式

步骤1、建立多重分形模型：

把研究对象划分为N个不同的局部区域，用大小为δ×δ的规则网格去覆盖这N个局
部区域，第i个网格中局部区域的分布概率为pi(δ)，且满足对于不同的局部区
域，分布概率的值也不相同，可以用不同的标度指数ai表示，数学语言描述为：

多重分形理论中把a定义为局部区域的奇异系数，由于N的个数很多，因此可用不
同的a组成谱序列f(a)，即多重分形谱。f(a)～a曲线是描述多重分形的一个模型。

将式(1)两边同时乘以q次方并取和得：

当尺度趋近于零时

步骤2、拟合最佳逼近时测度与尺度的关系：

二维空间中，将在s点，δ领域内的质量定义为在δ尺度下的测度，随时间、空间分布
的函数f可以理解为线密度。其连续表达式为

其离散表达式为

三维空间中函数f可以理解为该区域的面密度，将以s点为中心，δ为边长的正方形
邻域内的质量定义为在δ尺度下的测度，其连续表达式为

m(s,δ)＝∮f(s,δ)dSδ (6)

式中Sδ表示δ邻域的面积，其离散表达式为

根据分形维数的定义可知，测度与尺度满足如下指数关系

m∝δD (8)

实际情况还需考虑诸多因素的影响，尺度和对应的测度不能完全符合式(4-12)这
种理想的状态，拟合最佳逼近时的关系表达式为

m＝bδa (9)

式中：a，b为常数。由于拟合过程中原幂指数D已经不满足严格相关分形维数的定
义，因此用a代替D。a表示待插值点在其小邻域内的凹凸特性，又称为奇异系数，若式(9)在
某一位置点上一阶导数为零或者没有变化，那么函数在该点处是奇异的。式(9)的指数关系
可以在双对数坐标系中转化为一条直线，但由于误差等因素，可能不是一条严格的直线，需
用最小二乘法进行拟合，a为拟合后直线的斜率。对于二维空间，当a<2时，插值曲面是凸的；
当a＝2时，插值曲面在该点处是奇异的；当a>2时，插值曲面是凹的。

步骤3、确定每个局部区域的测度：

式(7)与(9)联立可以计算某一区域的分形测度。对于三维空间中的曲面，由二重
积分的物理意义可知，在单位面密度条件下，其测度可以理解为曲面与坐标轴所成图形的
体积。则式(7)写成

m(s,δ)＝f(s,δ)·Sδ (10)

式中：f(s,δ)为高，在本文表示为地磁场强度值。由式(4-14)可知以s点为中心，δ
为尺度的正方形领域内测度为f(s,δ)·δ2，同时根据分形理论公式(4-13)可知测度为b·
δa，联立可得

f(s,δ)·δ2＝b(s)·δa(s) (11)

步骤4、求解待插点的校正系数：

二维空间求测度时，若某一区域内的离散点按照等步长均匀分布，则可以以待插
值点为中心，相邻数据点间最小距离的奇数倍为边长建立若干正方形盒子，则待插值点的
面密度等价于盒子内所有离散点的地磁场强度平均值，再依据式(10)用面密度乘以盒子面
积可求测度值m。尺度δ和盒子数N是在盒计数法中设定的，即也是已知值，则可依据式(9)，
可求奇异系数a和校正系数N2-a。

步骤5、利用多重分形克里金插值法构建基准图：

由式(11)可知，以边长为δ的正方形为中心，尺度为Nδ的正方形内的测度为

ZNδ(N·δ)2＝b(N·δ)a (12)

尺度为δ的正方形的测度为

Zl·δ2＝b·δa (13)

联立式(12)和式(13)可得

Zδ＝N2-a·ZNδ (14)

式中ZNδ、Zδ分别为Nδ、δ邻域内地磁场强度的均值，N为最大尺度与最小尺度的比
值。对此区域进行克里金插值，即估计尺度为N·δ的正方形范围内地磁场强度的平均值。由
于多重分形理论的估计区域为正方形，而克里金插值法的搜索区域是以R为半径的圆，二者
之间的转换关系为：

(N·l)2＝πR2 (15)

由式(15)即可求出克里金插值的搜索半径。由于数据点是按均匀网格分布的，为
保证估计区域内所包含的数据点个数相同，取克里金插值的搜索半径为

即尺度为Nδ的正方形区域是克里金插值的搜索圆域内所能包含的最大正方形。克
里金插值公式为：

将式(17)代入式(14)得

对于n维插值问题