一种光束的双关联函数的测量方法技术领域
本发明涉及一种双关联函数测量的方法，能便捷、精确的测量得到光束的双关联
函数，利用该方法，可以测量得到光束中的径向模数，应用于通信、生物医学、全息造影等方
面，属于应用光学技术领域。
背景技术
关联是指在空间中任意两点或多点在同一时刻（空间关联）或是同一空间点任意
不同时刻（时间关联）的起伏关系。对于空间关联函数，如果该起伏关系具有完全的一致性，
则可认为此时的关联为1；反之，若是该起伏关系反向一致，则可认为此时的关联为-1；在这
两个极值中间的起伏状态，则定义为部分关联。利用统计数学方法，可以将这相应的起伏规
律用关联函数来描述，且高阶关联函数（多点之间的关联）在满足高斯统计规律的情形下，
可以利用高斯展开形式，简化为低阶关联函数，早期的理论研究中普遍用互相关函数来描
述这一演化现象。利用互相关函数，可以很好的得到光束在空间或时间中的相干度分布，对
相干度的演化研究提供了基础理论方法。
在实际的应用过程中，一般通过测量四阶关联函数的方法得到互关联函数，在文
献中有详细的测量技术讲解（参见文献：F. Wang, X. Liu, Y. Yuan, and Y. Cai,
“Experimental generation of partially coherent beams with different complex
degrees of coherence,” Opt. Lett. 38, 1814-1816 (2013)）。测量中，首先固定一点在
坐标原点(0, 0)，然后计算平面上任意一点(x, y)与该点的关联，故称之为互关联。
近年来，交叉关联函数的提出为关联函数提供了更为宽广的应用前景（参见文献：
D. M. Palacios, I. D. Maleev, A. S. Marathay, and G. A. Swartzlander, Jr.,
“Spatial correlation singularity of a vortex field,” Phy. Rev. Lett. 92,
143905 (2004)）。不同于互关联函数固定一点与其他任一点关联的定义方法，交叉关联函
数是指相对坐标原点轴对称分布的两点之间的关联分布即点(x, y)与(-x, -y)之间的关
联，利用交叉关联函数，可以得到光束中所隐藏的径向和角向（也称为拓扑荷数）模数的信
息，可以应用于信息通讯、空间遥感等领域。此外，利用交叉关联函数还能够得到超分辨率
的图像分布，这在生物医疗、全息图像等方面具有广阔的应用前景。
但是，交叉关联函数只能同时得到光束中径向和角向模数的信息分布，而不能分
别得到径向和角向模数分布。正因为如此，近来，研究人员提出一种新的关联函数——双关
联函数，进一步挖掘关联函数的潜在价值（参见文献：Y. Yang, Y. Liu, “Measuring
azimuthal and radial mode indices of partially coherent vortex field,” J.
Opt. 18, 015604 (2015)）。不同于上述所涉及的两种关联函数的形式，双关联函数是指空
间中任意一点与其一倍距离上的另一点之间的关联，即点(x, y)与(2x, 2y)之间的关联。
双关联函数的分布与光束的径向模数密切相关而与角向模数几无关联，利用双关联函数可
以精确的得到光束的径向模数，再结合与角向和径向模数紧密关联的交叉关联函数，就可
以精确的分别得出径向模数和角向模数。这在信息通讯等领域具有重要意义。然而以往的
工作仅仅对双关联函数进行了理论分析，对于如何测量得出双关联函数并用来确定光束径
向模数还未见诸报道。
综上所述，关联函数携带了光束的重要信息，利用不同的关联函数可以深刻的挖
掘出光束中所包含的实际信息，双关联函数作为关联函数的一种，在信息通讯、超分辨率成
像、量子全息等方面具有重要应用。因此，如何测量光束的双关联函数，具有重要的实际价
值。
发明内容
本发明针对现有技术还未涉及如何测量光束的双关联函数所存在的不足，提供一
种能精确测量光束的双关联函数，并应用于测量光束的径向模数的方法，再采用现有交叉
关联函数测量技术方法，能精确得到光束的径向和角向模数，在信息通讯、生物医学、全息
成像等领域具有重要的应用。
实现本发明目的的技术方案是提供一种测量光束的双关联函数的方法，包括如下
步骤：
1、以连续拍摄的采集方法，得到N幅待测量光的光强度分布的灰度信息图片；将图片逐
一转化为相应的维度为4m+1×4m+1的二维方阵矩阵In(x, y) ；其中，m为大于等于零的正
整数；n表示图像的序列号，从1～N；(x, y)为矩阵的坐标；
2、将矩阵In(x, y)的中心点(2m+1, 2m+1)设置为坐标原点(0, 0)；
3、选取矩阵In(x, y)的第m+1到3m行，第m+1到3m列为新的2m+1×2m+1维度的子矩阵It
(x, y)，t表示与N对应的图像的序列号；
4、选取矩阵In的奇数行与奇数列处的数值为新的2m+1×2m+1维度的子矩阵It(2x,
2y)，t表示与N对应的图像的序列号；
5、对子矩阵It(x, y)和It(2x, 2y)进行关联运算，得到待测量光双关联函数的分布；
利用双关联函数的二维分布，其中暗环数量即对应为待测量光的径向模数。
本发明所述的采集待测量光的光强度分布的灰度信息图片的方法为由16位灰度
的电荷耦合器件以30帧/秒的速率拍摄；连续拍摄次数N = 200～20000；m大于等于10。
由于上述技术手段的应用，本发明提供的光束双关联函数的测量方法其优点在
于：实现了对光束双关联函数的实际测量，并可实际运用于光束的角向和径向模数的测量，
判定任意光束的角向和径向模数，具有良好的可操作性，且简单高效、快捷方便。
附图说明
图 1 是本发明实施例1提供的理论模拟产生的光束由电荷耦合器件所拍摄的一
张光强的灰度分布图；
图 2 是本发明实施例1利用软件所选取的子矩阵It(x, y)的灰度分布图；
图 3 是本发明实施例1利用软件所选取的子矩阵It(2x, 2y)的灰度分布图；
图 4 是本发明实施例1计算得出的双关联函数的灰度分布图；
图 5 是本发明实施例2待测量光由电荷耦合器件所拍摄的一张光强的灰度分布图；
图 6 是本发明实施例2子矩阵It(x, y)的灰度分布图；
图 7 是本发明实施例2子矩阵It(2x, 2y)的灰度分布图；
图 8 是本发明实施例2测量得到的待测光双关联函数的灰度分布图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明技术方案做进一步描述。
实施例1：
本实施例提供一种双关联函数的测量方法，包括如下步骤：
1、文献“Effect of spatial coherence on determining the topological charge
of vortex beam,”（C. Zhao, F. Wang, Y. Dong, Y. Han, and Y. Cai, Appl. Phys.
Lett. 101, 261104 (2012)）公开了一种光束产生的方法，可得到任意具有角向和径向模
数的光束，其在光源处可以用互相关函数表达成如式（1）的形式：
（1）
其中，为互关联函数，和为源平面上任意两个坐标矢量；l和p分别为光束的
角向和径向模数；和分别表示拉盖尔多项式和指数函数；和分别为光束源
的束腰宽度和相干宽度；为余弦函数；i为虚数符号；和分别为坐标矢量、
与x轴的夹角。光束源经过一个聚焦ABCD光学系统后（光学系统可以用矩阵表示，A、B、C、D分
别为矩阵的元素），利用惠更斯-菲涅尔衍射积分公式，可以得到接收平面上的互相关函数，
相应的积分形式参见文献“Partially coherent standard and elegant Laguerre-
Gaussian beams of all orders,”（F. Wang, Y. Cai, and O. Korotkova, Opt.
Express 17, 22366-22379 (2009)），按上述文献中的公式(10)所示，利用该公式，可理论
模拟经由电荷耦合器件在接收平面（聚焦平面）上所接收的灰度信息图。本实施例选取的模
拟参数为l=6、p=2、、、入射光波长以及聚焦透镜焦距
。
本实施例中，产生的光束经由16位灰度的电荷耦合器件以30帧/秒的速率拍摄得
到连续N（N为大于零的正整数，在本实施例中N=2000）张图片，每一张图片都包含了光束强
度分布的灰度信息（灰阶数0～255，灰阶数越高对应的光强越大）；
参见附图1，它是本实施例提供的一种理论模拟光束由电荷耦合器件所拍摄的一张光
束的光强灰度分布图。
2、将图片逐一转化为相应的维度为4m+1×4m+1的二维方阵矩阵In(x, y) ；其中，
m为大于等于零的正整数；n表示图像的序列号，从1～N；(x, y)为矩阵元的坐标；利用软件
读取所采集到的N张图片，将每张图片转化为相应的二维矩阵 In(x, y) (n表示图像的序
列号，从1～N；(x, y)为矩阵元的坐标)；假设选取的二维矩阵为一奇数方阵（矩阵行、列数
相等且为奇数，偶数方阵列处理方法类似），该矩阵维度为4m+1，将矩阵In(x, y)的中心点
(2m+1, 2m+1)设置为坐标原点(0, 0)；参见附图2，它是本实施例利用软件所选取的子矩阵
It(x, y)的灰度分布图。
3、选取矩阵In(x, y)的第m+1到3m行，第m+1到3m列为新的子矩阵Ii(x’, y’) (t表
示图像的序列号，从1～N；(x’, y’)为矩阵元的坐标，坐标原点为矩阵中心)，得到式（2）如
下：
（2）
4、选取矩阵In的奇数行与奇数列处的数值为新的子矩阵It(x’’, y’’)的矩阵元素
((x’’, y’’)为矩阵元的坐标)，坐标原点为矩阵中心，得到式（3）如下：
（3）
参见附图3，它是本实施例利用软件所选取的子矩阵It(2x, 2y)的灰度分布图。
5、参见文献“Experimental generation of partially coherent beams with
different complex degrees of coherence,”（ F. Wang, X. Liu, Y. Yuan, and Y.
Cai, Opt. Lett. 38, 1814-1816 (2013)）提供的方法，对子矩阵It(x, y)和It(2x, 2y)进
行关联运算，得到待测量光束双关联函数的分布。利用双关联函数的定义方法，以及(2)、
(3)两式所选取的子矩阵，计算得出光束的双关联函数分布，表达如式（4）所示：
（4）
其中，符号、和分别表示模、系综平均以及开根号，为求和符号。
利用计算得到的双关联函数的二维分布，可以直观的读取出环绕着中心亮点的暗
环数量，其中暗环数量即对应为待测量光的径向模数。参见附图4，它是本实施例计算得到
的双关联函数的灰度分布图；图4中可见两个暗环围绕中心亮斑，此时，即可得到光束的径
向模数为2。
实施例2
本实施例以拉盖尔-高斯光束为待测光束，提供一种双关联函数的测量方法，步骤如
下：
1、以连续拍摄的采集方法，由16位灰度的电荷耦合器件以30帧/秒的速率拍摄，得到N
幅（在本实施例中N=2000）待测量光的光强度分布的灰度信息图片；将图片逐一转化为相应
的维度为4m+1×4m+1的二维方阵矩阵In(x, y) ；其中， m = 50；n表示图像的序列号，从1
～N；(x, y)为矩阵的坐标；参见附图5，它是本实施例待测量光由电荷耦合器件所拍摄的一
张光强的灰度分布图；
2、将矩阵In(x, y)的中心点(2m+1, 2m+1)设置为坐标原点(0, 0)；
3、选取矩阵In(x, y)的第m+1到3m行，第m+1到3m列为新的2m+1×2m+1维度的子矩阵It
(x, y)，t表示与N对应的图像的序列号；参见附图6，它是本实施例得到的子矩阵It(x, y)
的灰度分布图；
4、选取矩阵In的奇数行与奇数列处的数值为新的2m+1×2m+1维度的子矩阵It(2x,
2y)，t表示与N对应的图像的序列号；参见附图 7，它是实施例子矩阵It(2x, 2y)的灰度分
布图；
5、按实施例1提供的方法，对子矩阵It(x, y)和It(2x, 2y)进行关联运算，得到待测量
光双关联函数的分布；利用双关联函数的二维分布，其中暗环数量即对应为待测量光的径
向模数。参见附图 8 ，它是本实施例测量得到的待测光双关联函数的灰度分布图，由图8可
以得到，本实施例待测光束的径向模数为2。