用于恒定齿距的齿轮齿序列的带有直径改变器的可变直径 齿轮装置 发明领域与发明背景
本发明涉及变速器， 尤其是涉及带有直径改变器的可变直径齿轮装置， 用于改变 一连串齿轮齿的有效直径， 同时该齿轮齿保持恒定的齿间距。
人们已经尝试采用不同的方式来设计齿轮， 该齿轮将可提供可变的直径和可变的 有效量的齿。特别对于自行车， 已经提出许多设计方案， 在这些设计方案中， 齿轮的节段可 以向外径向移动， 以致齿轮的节段接近于在齿间具有可变间距的齿状多边形的圆角。这些 设计能接合链条， 并具有可变有效量的齿， 在齿间的间距对应于 “缺失的” 齿。这样的设计 范例可以在专利号为 2,782,649 与 4,634,406 的美国专利， 以及公开号为 WO 83/02925 的 PCT 专利申请中找到。这个方法产生了非圆有效齿轮， 该齿轮在齿轮节段之间有缺失的齿。 结果， 在齿轮之间会产生直接节段的不相容。 即使当与链条使用时， 旋转的多边形会导致不 稳定和振动， 如果在显著速度下使用时， 且在转动过程中不能提供均一的动力变换。
在美国专利 4,655,730 中揭示了一种类似于上述例子的装置， 但该装置是实施为 无齿的无级变速器。在这个例子中， 环的节段的径向运动史由两个开槽的圆盘的相对旋转 来控制的， 一个圆盘具有径向槽， 而另一个圆盘具有螺旋槽。
在公开号为 DE 10016698 A1 的德国专利申请中介绍了上述方法的进一步变化。 在 这个例子中， 提供了链轮齿作为柔性链条的一部分， 该链条是缠绕一个径向可替代的节段 结构。该链条被锚定到其中一个可替代的节段， 在该链条的另一端的可变的剩余长度是弹 性偏置到在所述装置的内容器内的弹回存储状态。
在上述的所有例子中， 根本的调节机构是设置为提供单纯的径向运动， 接近于一 个扩展的多边形。
还可参考共同待决和共同转让的公开号为 2009/0018043 的美国专利申请 ( 以下 简称为 “043” 申请 )， 它在作为本申请的优先权的美国临时申请的申请日前未公开， 根据专 利法的规定也不作为现有技术。该 “043” 申请描述了一个变速器系统， 在该系统中， 齿轮的 序列是设置在可变直径的圆上， 同时在相邻的齿之间保持恒定的间距。 通常， 两个这样的齿 轮齿序列是用于结合来提供具有可变量的齿的有效的圆柱齿轮。该 “043” 申请在这里以其 整体引入作为参考。 除非这里另有说明， 在本说明书中采用的术语的定义， 以及本发明的结 构的附加技术细节以及申请的范围， 都在 “043” 申请中详细描述。
本发明将有利于基于带有螺旋轨道的圆盘而提供带有直径改变器的可变直径齿 轮装置， 用于改变一连串齿轮齿的有效直径， 同时该齿轮齿保持恒定的齿间距。
发明内容 本发明是一种带有直径改变器的可变直径齿轮装置， 用于改变一连串齿轮齿的有 效直径， 同时该齿轮齿保持恒定的齿间距。
根据本发明的教导， 提供了一种用于可变速率的变速器系统的可变直径齿轮， 所 述可变直径齿轮包括 ： (a) 轮轴， 限定一个旋转轴 ； (b) 可移置的齿轮齿序列， 包括布置在与
所述轮轴共轴的有效圆柱上的复数个相互连接的齿轮齿， 所述齿轮齿是以均一的间距来间 隔的 ； (c) 扭矩联接物， 机械地联接到所述轮轴以及联接到所述齿轮齿序列， 以致转移在所 述轮轴与所述齿轮齿序列之间的转动力矩 ； 以及 (d) 直径改变器， 包括至少一个带有螺旋 轨道的圆盘， 其中每个所述的齿轮齿是机械地联接到所述螺旋轨道， 以致所述的至少一个 圆盘相对于所述轮轴旋转， 导致所述有效圆柱的有效直径的变化， 同时保持所述有效圆柱 的中心在旋转的所述轮轴上， 且同时所述均一的齿间距保持恒定。
根据本发明的进一步特征， 所述直径改变器包括一对所述圆盘， 设置在所述齿轮 齿序列的相对侧， 而其中每个所述齿轮齿是机械地联接到所述一对圆盘的所述螺旋轨道。
根据本发明的进一步特征， 所述螺旋轨道是实施为一个螺旋槽， 且有一个凸出物 与每个所述齿轮齿相关联， 所述凸出物接合所述螺旋槽。
根据本发明的进一步特征， 所述螺旋轨道实质上是以一个对数螺旋的形式来成形 的。
根据本发明的进一步特征， 所述齿轮齿序列围绕所述有效圆柱齿轮的圆周的至少 一部分来扩展。
根据本发明的进一步特征， 所述可移置的齿轮齿序列是第一可移置的齿轮齿序 列， 形成一个齿轮齿组的一部分 ； 该可移置的齿轮齿序列还包括第二可移置的齿轮齿序列， 具有布置在所述有效圆柱上的复数个齿轮齿， 并以所述均一的间距来间隔的 ； 所述直径改 变器是被配置为替换所述齿轮齿组， 以致改变在至少所述第一齿轮齿序列与所述第二齿 轮齿序列之间的周边共延伸的程度， 因而在以下两方面之间转变所述齿轮装置 ： (a) 第一 状态， 所述齿轮齿组在该状态中被设置为提供带有第一有效量的齿的有效圆柱齿轮 ； 以及 (b) 第二状态， 所述齿轮齿组在该状态中被设置为提供带有多于第一有效量的第二有效量 的齿的有效圆柱齿轮。 根据本发明的进一步特征， 所述直径改变器还包括调节机构， 该调节机构包括行 星齿轮组件， 该组件具有 ： 由所述轮轴的旋转所驱动的第一输入件 ； 驱动所述至少一个圆 盘的旋转的输出件 ； 以及直径调节输入件 ； 其中， 所述行星齿轮组件是被这样配置以致当 所述调节输入件保持静态时， 所述至少一个圆盘是被驱动为对准所述轮轴以恒定角度旋 转， 以及当所述调节输入件是被旋转时， 所述至少一个圆盘相对于所述轮轴经受相应的旋 转。
附图简要说明
本发明在这里仅通过实施例结合附图来进行描述， 其中 ：
图 1 是根据本发明的教导所构建和操作的一种可变直径齿轮装置的实施例的全 面视图， 该齿轮装置包括两个齿轮齿序列， 这些齿序列提供了可变直径有效圆柱齿轮， 与惰 轮装置接合， 作为一种可变速率变速器系统的一部分。
图 2A 是源自图 1 所示的齿轮装置， 显示一个齿轮齿序列与一个关联的带有螺旋轨 道的圆盘， 形成一个直径改变器的一部分。
图 2B 是图 2A 所示的齿轮齿序列与圆盘的轴视图， 显示在最大直径的状态。
图 2C 是在图 2B 中沿 A-A 线剖开的横截面视图。
图 3A 和图 3B 是分别类似于图 2A 和图 2B 的视图， 在这些图中， 未布置在横截面的 线上的齿已经被省略以便更为清晰。
图 4A 至图 4E 是类似于图 2A 的一系列视图， 显示了圆盘相对于齿序列的位置范 围， 该范围从开放状态到完全关闭的状态。在每个例子中， 在该图旁边显示了一个圆， 对应 于有效齿轮的节圆， 叠加在一个虚线圆上， 该虚线圆对应于该圆盘的轮廓， 因此描绘了有效 直径的变化范围。
图 5 是一个调节机构的部分立体视图， 该调节机构是用于在直径改变器的圆盘与 齿轮装置的主轮轴之间的相对旋转。
图 6 和图 7 是示意图， 显示了特定技术将可被用于本发明的几何分析。
图 8A 和图 8B 是两种类型的联接物的示意图， 该联接物适用于在实施图 1 所示的 可变齿轮装置 ； 以及
图 9 和图 10 显示了特定技术， 当本发明所述一个实施例与图 8B 所示的联接物进 行实施时， 该技术将被用于几何分析。
最佳实施例详述
本发明是一种带有直径改变器的可变直径齿轮装置， 用于改变一连串齿轮齿的有 效直径， 同时该齿轮齿保持恒定的齿间距。
根据本发明所述的可变直径齿轮装置的原理和操作将通过附图以及相关的说明 而得到更清楚的理解。
现在参考附图， 图 1 是根据本发明的教导所构建和操作的一种可变直径齿轮装置 的实施例， 该齿轮装置标记为 10， 它被显示为接合于一个惰轮装置 100， 用作一种可变速率 变速器系统的一部分。
总的来说， 可变齿轮装置 10 具有一个轮轴 20， 限定旋转轴 22。 一个齿轮齿组包括 ： 至少一个 ( 在本例中有两个 ) 可移置的齿轮齿序列 11， 每个齿序列从复数个相互连接的齿 轮齿 12 形成， 这些齿轮齿布置在与轮轴 20 共轴的有效圆柱上。在每个齿轮齿序列的齿轮 齿 12 是在以均一齿距来间隔的。
正如图 2A 所示， 一个扭矩联接物被机械地连接到轴 20 以及连接到齿轮齿序列 11， 以致在所述轮轴与所述齿轮齿之间转变一个转动力矩。在这里所示的优选实施例中， 该扭 矩联接物是由径向可移置的轴 24 而形成， 附着到或整合形成一个给出的齿 12， 涉及作为 “a(alpha)” 齿。轴 24 在轴 20 内穿过对应槽， 典型地通过一个线性轴承 ( 未画出 )。
正如图 2A 至图 4E 所示， 可变齿轮装置包括一个直径改变器， 该直径改变器包括至 少一个具有螺旋轨道 16 的圆盘 14。每个齿轮齿 12 是机械地连接到螺旋轨道 16， 以致圆盘 14 相对于轮轴 12 的旋转导致有效圆柱的有效直径的变化， 同时保持该有效圆柱的中心在 旋转的轴上， 并同时使均一的齿距保持恒定。
根据本发明这里所示的一个优选但非限制性的实施例， 该直径改变器包括一对圆 盘 14， 它们设置在每个齿轮齿序列 11 的相对侧， 且每个齿轮齿 12 是机械地连接到该对圆盘 的螺旋轨道上。这样提供了稳定和对称的支持来限定每个齿的径向位置。参见图 2A 至图 5， 该圆盘接近于浏览器， 由于清楚表述的原因而被删除。
根据本发明这里所示的一个优选但非限制性的实施例， 所述螺旋轨道是被实施为 一个螺旋槽 16， 该螺旋槽可以是一个通槽， 或者可以是仅在圆盘 14 的一个面上形成。当该 轨道被实施为一个槽时， 每个齿轮齿 12 优选地具有一个相关联的凸起物， 例如针脚 18， 该 凸起物接合和在螺旋槽 16 中滑动。每个针脚 18 通常具有一个特别的偏移， 也就是， 相对于相应的齿 12 的几何中心的径向位置。这样， 例如， 看图 2A， 对于 a 齿的针脚 18 是处于最大 的径向内偏移， 而在该齿序列的另一端的齿具有最大的径向外偏移。所述螺旋槽与每个齿 的位置的对应接合关系是为了将该齿轮齿保持在一个有效圆柱上。
圆盘 14 相对于轮轴 20 的旋转的全面效果显示在图 4A 至图 4E 中。这一系列视图 显示了在单个齿序列的有效直径的改变， 同时轮轴和 a 齿被保持在恒角位置 (12 点钟 )， 同 时圆盘 14 如图所示是逆时针旋转的。对应于前述的 “有效圆柱” ， 在所述齿的齿距中心的 有效直径的相应变化是被显示为一个实心圆， 在每个图的旁边。虚线圆表示圆盘 14 的外边 界。
在这点上， 它将有助于定义在本说明书和权利要求书中所采用的特定术语。参考 术语 “齿轮齿序列 (gear tooth sequence)” ， 它是指任意条带、 链条或其他能在环绕所述齿 轮装置的外周在它的多种不同状态之间保持所需间距的支持结构。在本发明下面所讨论 的齿轮齿序列的特定优选实施方式中， 该齿轮齿序列是由之间具有枢接的齿轮齿序列形成 的。
参考具有 “均一齿距 (uniform pitch)” 的每个齿轮齿序列的齿轮齿。这里的 “均 一齿距” 是由与给出的惰轮装置 100 或者穿过齿轮装置 10 的可变直径的整个范围的链条 的啮合能力来功能性定义的。需要注意的是， 该 “齿距” 的完全几何定义是并非微不足道， 因为该齿序列在不同状态之间的曲率半径， 以及在相邻齿的尖端之间的距离通常是可改变 的， 当调整所述齿轮装置时。 而且， 在相邻齿之间的角距跟随该齿序列的径向位置改变而做 必要改变。 在一些实施例中， 作为一个非限制性的示范几何定义， 它可以是有利于在所述齿 轮装置的调整过程中， 在相邻齿轮齿的几何中心 ( 定义为标准节圆与所述齿的中心线的交 叉 ) 之间保持恒定距离。在其他实施例中， 它可优选地将在沿着相邻几何中心之间的节圆 的距离保持恒定。在这些定义之间的差别通常是很小的， 它们都落入前述能以可变直径的 整个范围与给出惰轮啮合的宽的功能性定义的范围。然而， 这这些选项可对应或近似于在 相邻齿之间的联接的不同的结构的实施方式， 这可能会对所需螺旋导轨的形成的方案和分 析产生影响。这些特色将在下面进一步陈述。
参考齿轮装置 10 在每个状态中的 “齿的有效量” 。在任意给出状态中的齿的有效 量是由在围绕旋转轴的相邻齿之间的弧度的角距除以 2p 而得的。在直觉术语中， 齿的有效 量对应于在具有齿轮装置 10 的当前状态的类似功能的简单齿轮中的齿的有效量。当两个 或更多齿序列被用于它们的齿轮齿， 这些齿序列互相对齐， 该齿的有效量将简化为沿着所 述轴凸起的结合的齿轮齿组的齿的量。
当采用两个或更多齿轮齿序列时， 参考在这些齿轮齿序列之间的 “外周共延伸程 度” 术语。这个外周共延伸程度对应于围绕该有效圆柱齿轮的外周的齿轮齿序列的共延伸 的角度延伸， 取决于该圆柱的当前直径。 当参考外周共延伸的可变程度时， 它包括减少为零 的共延伸的可能性， 也就是， 当一个齿序列提供一种齿时， 另一个齿序列提供下一种齿， 而 它们见不重叠。在特定优选实施例中， 每个齿序列的最大直径是延伸大于所述有效圆柱的 半个圆周。在这个实施例中， 这些齿序列的外周共延伸是优选大于零的。
参考术语 “有效圆柱齿轮” ， 是指能提供与简单或组合圆柱形惰轮连续齿接合的结 构。本发明的个别齿序列通常具有间距， 如图 2A 和图 2B 所示。然而， 当仪器使用时， 如图 1 所示， 这些齿序列允许围绕该齿轮装置的整体旋转的连续接合。需要注意的是， 本发明可被用于有利于基于直接接合齿轮的变速器， 也有利于基于变速器的链条。 在所有例子中， 它 都有助于接合惰轮， 作为理论上的结构， 可被用于定义齿轮装置 10 的几何特性。
在本说明书中的 “惰轮装置 (idler gear arrangement)” 是指任意与齿轮装置 10 发生齿接合的齿轮结构。术语 “惰轮装置” 被用于反映一个典型的装置， 一个惰轮装置是在 齿轮组中的一个中间组件， 但也不排除可能是直接连接到动力输入轴或动力输出轴。该惰 轮装置通常是一个复合的惰轮， 其中有两个或更多齿轮被安装以致围绕一个普通惰轮轴一 起旋转， 例如图 1 中所示。组成一个复合惰轮的这些齿轮通常是相同的且同相的 ( 也就是， 它们的齿对齐 )， 但也可被实施为不同相 ( 齿不对齐 ) 的齿轮， 如果在这些齿序列中间实施 对应的相差时。
现在转到本发明的一个实施例的特征的更详细描述， 在每个齿轮齿序列的齿轮齿 是这样设置的以致在该可变直径齿轮的所有状态都具有恒定的齿距。 无论采用怎样精确测 量的齿距， 在齿间保持恒定齿距的特性， 当直径改变时， 导致围绕该装置的轴的齿的可变角 距改变。通过比较在图 4A 和在图 4E 中的第一齿轮齿和最后齿轮齿的位置， 可清楚看到这 个结果。一个简单的阿基米德螺旋 ( 半径以角度的线函数增加 ) 不能提供贯穿整个直径范 围的真正圆的几何形状。由对数螺旋线提供了一个接近的近似， 该螺旋线具有对于沿着该 螺旋的给出长度的恒定的半径增加的特性。这也不是一个理论上优选的解决方案， 因为齿 距是恒定大于沿着该螺旋槽的抵消支架的针脚之间的距离。 然而， 特别对于相对浅角螺旋， 可找到对应于或接近于一个对数螺旋的路径， 通过分析数值方法或者通过试错的实验， 保 持在每个直径的齿轮齿的圆轮廓都在可接受的范围内， 在由该齿轮装置覆盖的直径范围的 可容纳的范围内。 通过非限制性的实施例， 理论分析部分在下面提供对于螺旋槽和相应偏置针脚的 解决方案的实施例和理论分析。 在实施例中提及的特定值可被视为一个特别优选实施例的 指示， 但也不限于对应于本发明的整个范围。
需要重视的是， 在正常驱动接合可变直径齿轮 10 期间， 同时没有变速器进行速率 变换， 齿序列 11 和圆盘 14 是以相同速度旋转的。当需要变换变速器的速率时， 在圆盘 14 和齿序列 11 之间的预设的角运动将被执行。不同机构可被用于确保这些圆盘和齿序列正 常地一起运转， 根据需要相对旋转。一个非限制性的例子可参见图 5。
因此， 根据本发明的一个实施例， 直径改变器具有一个调节机构， 在该机构内由一 个行星齿轮组件， 该组件具有 ： 第一输入件， 由轮轴 20 的旋转直接或间接驱动 ； 输出件， 直 接或间接驱动圆盘 14 的旋转 ； 以及一个直径调节输入件。 该行星齿轮组件是被这样配置以 致当该调节输入件保持静态时， 圆盘 14 是被驱动为对准轮轴 20 以恒定角度旋转， 以及当该 调节输入件是被旋转时， 圆盘 14 相对于轮轴 20 经受相应的旋转。
特别地， 图 5 所示的非限制性优选实施例显示了一个齿轮 26， 它是固定为与轮轴 20 一起旋转 ( 因而也与齿轮齿序列 11 一起旋转， 为清楚而将该齿序列忽略 )。 齿轮 26 结合 另一齿轮 28， 该齿轮 28 转动行星齿轮组件 30 的 “行星” 轭。该行星齿轮组件的 “太阳” 32 是固定到轮轴 34， 该轮轴 34 也使齿轮 36 旋转， 齿轮 36 接合另一齿轮 38， 该齿轮 38 整合到 圆盘 14。一个促动器， 例如一个发动机 ( 未示出 )， 被设置用于可选地驱动该行星齿轮组件 的外环 40， 以便有效改变直径。 在这个序列中的全部齿轮的速率是精选的， 以致当该行星齿 轮组件的外环 40 保持静止时， 齿轮 26 和 38 以相同的角速率转动， 因而保持齿轮齿序列 11
和圆盘 14 处于恒定角度关系， 当它们旋转时。该行星齿轮组件的外环 40 的旋转导致在齿 轮齿序列 11 和圆盘 14 中间的角度替换， 因而获得直径调整。
这里所描述的调节机构的实施方式确信可提供多种优势， 包括允许控制由单个发 动机操作产生的速率变换， 以及避免所述装置的中心轮轴的复杂结构。然而， 需要注意的 是， 用于控制相对于轮轴 20 的圆盘 14 的旋转的调节机构的替代实施方式， 例如， 应用轴上 机构， 用于改变同轴空心轴的对准， 也落入本发明的范围之内。
再次参见图 1， 如上所述， 可变齿轮装置 10 的一个实施例应用了一个齿轮齿组， 该 齿轮齿组包括两个类似的可移置的齿轮齿序列 11， 它们可通过直径改变器而替换， 以致改 变在至少第一齿轮齿序列和第二齿轮齿序列之间的外周共延伸程度。因而， 齿轮装置 10 在 第一状态与第二状态之间转换， 在第一状态中， 该齿轮齿组是设置为提供带有第一有效量 的齿的的有效圆柱齿轮， 在第二状态中， 该齿轮齿组是设置为提供带有多于第一有效量的 第二有效量的齿的的有效圆柱齿轮。
理论分析
问题的提出
现在参见图 6 至图 10， 对于多种实施例的关于螺旋槽的形状与相应针脚偏置的一 个解决方案的实际例子和理论分析将被陈述。需要注意的是， 所提供的这个分析是为了便 于理解， 而不应视为对本发明的范围的限制， 它可以多种不同方式来实施。特别地， 作为一 个对数螺旋的螺旋的近似， 通过或不通过计算或试错的进一步调整， 是完全足以允许本发 明的实施的， 不取决于这里的理论分析的精确度或其他方面。作为下面实施例中提及的特 定值， 可被视为特别优选实施例的指示， 而不应视为对本发明的总体范围的限制。 在相对于所描述的情形的几何分析中， 通过应用一个旋转螺旋槽， 齿轮可在两个 给出的限度之间改变它的外直径。 在直径增加的过程中， 齿被外推， 保持它们的外端在一个 普通的圆上。 在已增加的圆周内， 附加的有效齿被引入 ( 例如， 通过两个齿序列的重叠 )， 随 时保持该齿轮完整。
在直径增加的过程中， 齿的有效量从 zmin 改变到 zmax。在这个过程中， 所有齿在它 们的径向方向上向外移动， 但仅有一个齿， 称为 “a 齿 (alpha tooth)” ， 保持在恒定的角方 向， 而所有其他齿改变它们的角方向， 除了它们的径向位移之外。在图 6 中显示了该旋转机 构的一个图示说明。
在图 6 中， 该齿轮显示在它的闭合状态， 带有从 1 到 zmin 的齿量， 同时 a 齿编号为 k。所有齿被附着到一个螺旋槽， 该槽蚀刻在旋转的圆盘上。通过针脚完成该附着， 对于每 个个别的齿具有适当的偏移长度。从闭合状态 ( 如图 6 所示 )， 该圆盘逆时针 (CCW) 旋转， 同时在该槽内滑动的所有齿附着物处于顺时针 (CW) 方向——相对于该圆盘。在该圆盘的 旋转过程中， a 齿被保持在固定方向 (x 方向 )， 根据该螺旋的当地坡度径向外移。因为这些 齿是由刚性连接互相联接的 ( 参见下面的图 8A 和图 8B)， 随着直径增加， 这些齿被迫减少它 们的角距。结果， 所有齿在它们的角位置上变得接近于所述的 a 齿， 这意味着产生了从齿 1 到齿 zmin 之间的角差距。该角差距可假定由附加的有效齿填充 ( 例如， 从未示出的另一个 齿轮齿序列 )， 以致有效齿的总量增加到 zmax。
沿着所述螺旋的齿的角位置是由角度 f 来测算的， 以致在一个闭合齿轮 ( 具有最 小量的齿 ) 中， a 齿是在 f ＝ 0 的角度。当带有螺旋槽的圆盘被逆时针旋转到特定角度 f
时， 该 a 齿的角度值增加了同样量 f， 但该增加是在相对于该圆盘的顺时针方向 ( 参见图 6)。同时， 因为在相邻齿之间改变了角距离， 除了 a 齿之外的所有齿改变了它们在该螺旋上 的角位置， 稍微不同于 f 的角度。对于从 1 到 k 之间的所有齿， 沿着所述螺旋改变的角度是 稍微大于 f， 而对于所有超过 k 的齿， 其角度改变是稍微小于 f。这个角度位移的变化被用 于设计螺旋函数的近似分析方案， 如下面所述。
近似解析解决方案
在本节中给出的解析解决方案源自所述螺旋半径的微分方程， 它取决于螺旋角 f( 图 6)。对于该微分方程的定义， 我们减少齿距长度 p 到一个无穷小的数量级。在所述螺 旋上的一个凸出物 p， 在这里将被称为 “螺旋间距 (spiral pitch)” ， 是大致与 p 成比例的。 该螺旋间距将被命名为 q。图 7 显示了在假设的螺旋曲线上的两个这样的无穷小的螺旋间 距长度。
如果我们设想 ： 带有它的螺旋槽的圆盘是逆时针旋转一个小的角度， 以致定位在 r1 的齿移动到 r2， 同时在 r2 的齿移动到 r3。该螺旋的半径从一级增长到下一级 (r2 ＞ r1)， 而螺旋间距 q 是假设恒定的， 这意味着该连续角阶必须被降低。同时， 为了保持该齿的螺旋 半径独特， 径向递增 dr 必须保持恒定。
在位置 r1 的螺旋半径是得自 dr/df1。根据下一段给出的表达式， 在位置的 r2 的螺 旋半径需作出修正 ：
该螺旋半径的第二个来源是由下式来定义的 ：
其中， df 是一个 “平均” 角阶。 方程式 2.1 代入方程式 2.2 中， 给出下面的螺旋半径的微分方程式 ：方程式 2.3 的解由下面的简单的指数函数给出 ：
r(f) ＝ r0ebf， (2.4)
其中， r0 和 b 是需由所述螺旋的附加条件来决定的参数。这里 r0 是当 f ＝ 0( 它 是所述 a 齿在一个闭合齿轮的螺旋上的位置 ) 时的螺旋半径 ( 仍未知 )， 而 b 是该螺旋的坡 度。这些参数的最佳方案是得自曲线拟合的迭代计算， 显示在第 5 章。为了开始该迭代， 我 们需要这两个参数的一些初始值。为了这样的初始化， 我们假设 ： 该螺旋式从 f ＝ 0 旋转到 某个最大的转角 f ＝ fmax， 同时间距半径从 Rmin 增长到 Rmax。对于该初始化， 我们仅需要非常 近似的参数值， 对此， 可以假设 ： 螺旋半径 ( 在 a 齿 ) 是随时等于当前的间距半径， 这意味着 r(0) ＝ Rmin 以及 r(fmax) ＝ Rmax。这两个条件导致下面的初始参数值 ：
r0 ＝ Rmin， (2.5)侧铰联接
图 8A 和图 8B 显示了两个非限制性的几何布置， 用于所述齿序列的相邻齿的相互 联接。在图 8A 中， 每个齿在联接中对应于一个枢轴。这个布置通常在相邻齿轮齿之间保持 恒定的线性间距。
一种替代的联接， 称为 “侧铰联接” 或者 “齿中心联接” ， 显示在图 8B 中。在特定实 施例中， 这个联接可以是优选的， 因为它提供了对于在齿间的更好的恒定的间距， 沿着节圆 测量得到。
在如图 8A 所示的中心铰性联接中， 作为相邻齿的线性距离的弦是恒定的， 这意味 着在一个可变直径齿轮中， 直径改变导致圆齿距变化 ： 直径越大， 则圆齿距变得更小。 相反， 在一个侧铰联接中， 直径增加导致在相邻齿之间的线性距离轻微增加， 以致大的延伸来补 偿在中心铰链联接几何布置中发生的圆齿距的变化。
侧铰联接的精确几何构型是由带有给定齿量 z1 和给定模数的齿轮决定的， 给出一 个特定的间距半径 R1。在图 9 中显示了一个侧铰联接的特征化的几何参数。在这个基础几何构型中， 所有齿中心和铰接点都位于间距半径 R1 的相同节圆上。 这些铰接点都位于在角齿位置的半途。在本例中， 间距角度 t1 是由下式给出 ：
t1 ＝ 2p/z1. (3.1)
对于可变直径的后计算， 我们将需要显示在图 9 中的参数 u 和 v 的值。这些参数 由下式给出 ：
其中， h 是从所述节圆的铰接点的给出位移。 间距半径 R1 是由下式给出 ： R1 ＝ mz1/2， (3.3) 其中， m 是模数。现在假设 ： 在所述齿轮中的齿的量已经改变到 z2， 具有一个新的间距半径 R2。 在这 个新的齿轮中， 在相邻齿之间的线性距离是由如图 10 所示的几何构型来决定的。
在该新齿轮中， 间距角度是由下式给出 ：
t2 ＝ 2p/z2. (3.4)
根据图 5 所示的几何构型， 在齿中心之间的线性距离是 ：
其中， u 和 v 是由方程式 3.2 给出。
可以验证的是， 在原始齿轮中， 具有等于 z1 的齿量， 方程式 3.4 减少到 s1 ＝ 2u， 正 如它应该是 ( 与图 9 比较 ) 那样。这个结构式通过在方程式 3.5 中用 t1 代替 t2， 除了代入
得自方程式 3.2 的 u 和 v 的明确表达。
根据图 5 所示， 在修正的齿轮中的间距半径 R2 是由下式给出 ：
而这两个齿轮的圆齿距是由下式给出 ： p1 ＝ R1t1 (3.7) 以及最佳位移决定
由我们定义， 所述铰接点位移的 “最佳” 值 h( 图 9) 是这样的， 它等同这两个齿轮 的尺寸 z1 和 z2 的圆齿距。该等同要求表述如下 ：
p1 ＝ p2， (4.1)
其中， p1 和 p2 是在具有 z1 和 z2 的齿的齿轮内的相应的圆齿距。
对于这两个圆齿距， 通过直接代入方程式 3.7 和 3.8， 方程式 4.1 变成 ：
这里， s2 是由方程式 3.5 给出的。
注意， s2 取决于位移 h， 通过 u 和 v， 它们是 h 的函数， 正如由方程式 3.2 给出。因 此， 通过将方程式 3.2 代入方程式 3.5， 然后代入在方程式 4.2 中的 s2 的结果表达式， 我们 得到一个单一方程式， 它是取决于 h 的线性方程式。这个线性方程式提供了所需位移的下 面的解决方案 ：
这里， R1 是第一齿轮 ( 方程式 3.3) 的间距半径， 而 t1 和 t2 是这两个齿轮 ( 方程式 3.1 和 3.4) 的间距角度。
由于 t1 和 t2 是非常小的角度， 在方程式 4.3 中的 sin 值可被扩展为幂级数， 仅保 留该级数的首两个级， 而忽略剩余的级。这样表达的结果， 方程式 4.3 可简化为下面的近似 方程式 ：
方程式 4.4 提供了等同于方程式 4.3 的那些结果。
显然， 位移 h 可由任意两个选择的齿轮尺寸 z1 和 z2 的圆齿距的等同来决定。对于 不同于 z1 或 z2 的其他齿轮尺寸， 最终圆齿距 ( 对于给出的 h) 将稍微不同于原始的圆齿距 p1。对于给出的齿的量 z1， 最终圆齿距 p1 可由类似于方程式 3.8 的方程式来计算 ：
这里， ti 是间距角度， 而 si 是在齿中心之间的对应的距离， 两者都由类似于方程式 3.4 和 3.5 的方程式来计算。
如前所述， 在最终圆齿距 p1 与原始圆齿距 p1 之间会有轻微差别。这个差别是由下 式给出 ：
Δpi ＝ pi-p1. (4.6)
作为对于铰接点位移的效果的说明的数字例， 以下参数将被使用 ：
m ＝ 5mm 模数
z1 ＝ 36 在基础齿轮中的齿的量 Number of teeth in basic gear
z2 ＝ 48 在增加的齿轮中齿的量 Number of teeth in increased gear
没有位移， 也就是， 当 h ＝ 0 时， 这两个齿轮的圆齿距为 ：
p1 ＝ 15.7080mm， p2 ＝ 15.7105mm，
这显示了 2.5μ 的差别。
为了降低 p2 对于 p1 长度的量级， 由方程式 4.3 和 4.4 计算的 “h” 位移是 ：
h ＝ 57.1μ.
带有这样的铰接点位移， p2 将等于 p1， 但在其他中间的齿轮尺寸， 来自 p1 的小背离 仍然保持。由方程式 4.6 计算的这些背离对应于仅约 0.6 微米的最大间距差别。
最佳解决方案
通过将圆盘从初始方向 (f ＝ 0) 转动到最后方向 (f ＝ fmax)， 该齿轮的间距半径 从给出的 Rmin( 闭合齿轮 ) 增加到 Rmax( 开放齿轮 )， 同时齿的量从给出的 zmin 增加到给出的 zmax。在这些极限之一， 例如在闭合状态， 间距半径可精确地获得， 以致所有齿可被定位在相 同 Rmin。这个条件是通过选择适当的确切支架偏移来获得的， 在该齿轮的封闭状态， 该支架 偏移连接所有齿到所计算的螺旋。然而， 通过将圆盘旋转到其他极限， 齿的量增加到 zmax， 所有齿将不会在通常的间距半径精确配合， 但每个齿会偏离到从平均间距半径起的特定程 度。在本节中给出的这个最佳方案的目标是找到参数 r0 和 b( 方程式 2.4) 的最佳值， 在圆 盘旋转的所有阶段的个别齿的径向差别将会尽可能最小化，
对于该螺旋设计所需要的数据包括以下输入参数 ：
m - 模数
zmin- 齿的最小量
zmax- 齿的最大量
k -a 齿的序号
fmax- 最大转角
所有其余参数是按照这里的解释来计算。
Rmin ＝ mzmin/2 最小间距半径 (5.1)
t1 ＝ 360/zmin 在闭合齿轮的间距角度 (5.2)
t2 ＝ 360/zmax 在开放齿轮的间距角度 (5.3)
我们目前假设 ： 侧铰联接是由齿的最小量 zmin 来决定， 这意味着对于参数 u 和 v 的 计算， zmin 和 Rmin 不得不被分别代入以求得 z1 和 R1。在该例中， 线性间距距离 s2 和最大间距
半径 Rmax 是由方程式 3.4 和 3.5 来分别计算， 其中， t2 是由方程式 5.3 给出。对于执行方程 式 3.5 所需要的参数 u 和 v， 是由方程式 3.2 计算， 采用了由方程式 4.3 和 4.4 计算的铰点 位移 h。( 注意， 最大半径不是精确地域齿的量成比例的， 因为抑制参数 s2。)
在闭合齿轮中， a 齿是由定位在螺旋角度 f ＝ 0 来定义的， 而所有其他齿， 位于不 同角度， 由下式给出
f1i ＝ (i-k)t1 ； i ＝ 1， 2，…， zmax. (5.4)
方程式 5.4 是用于计算所有齿， 尽管在该齿轮的闭合状态中仅有 zmin 齿。然而， 在这个状态中， 额外的齿 ( 从 zmin+1 到 zmax) 都仍附着到所述螺旋， 具有其他齿 ( 从 1 到 zmax-zmin) 的相应部分的重叠。
在开放齿轮中， a 齿滑动到 f ＝ fmax。在这个状态， 所有齿的螺旋角度都由下式计 算：
f2i ＝ fmax+(i-k)t2 ； i ＝ 1， 2，…， zmax. (5.5)
现在， 对于参数 r0 和 b 的给出 ( 或估计 ) 值， 闭合齿轮和开放齿轮的螺旋半径可 采用方程式 2.4 来计算 ：
闭合齿轮， (5.6) 开放齿轮。(5.7)在闭合齿轮中， 所有齿可被定位在相等的间距半径， 通过采用适当的支架偏移， 它 对应于这样的条件 ：
li ＝ Rmin-r1i， (5.8)
其中， Rmin 是给出的最小间距半径。
由方程式 5.8 计算的支架偏移在圆盘的所有转动角度都保持恒定， 意味着在开放 齿轮中个别齿的特定的最大间距半径是 ：
R2i ＝ r2i+li.(5.9)
因为整个计算不是完全精确的， 由方程式 5.9 给出的最大间距半径将不会匹配由 方程式 3.6 给出的最大间距半径 Rmax 的需要。余差将会由下式产生 ：
ΔRi ＝ R2i-Rmax. (5.10)
现在的问题是找到参数 r0 和 b 的最好组合， 余差 ΔRi 将会尽可能最小化。为便于 这样的最小化， 方程式 5.10 将会以更直接的形式来写出， 通过代入方程式 5.6 直到 5.9 ：
其中， f1i 和 f2i 是由方程式 5.4 和 5.5 给出的在闭合齿轮和在封闭齿轮中的螺旋角度。 现在假设 ： 我们想要迫使特定 ΔRi 为零， 通过改变系统的参数 r0 和 b 为最小量 Δr0 和 Δb。因为所涉及的这些变化是小的数， 该归零的条件可简化为下面的线性近似方 程式 ：
在方程式 5.12 中采用的导数是从方程式 5.11 直接获得的 ：
实际上， 我们不仅需要 5.12 形式的方程式， 还需要一组这样的方程式， 根据余差 ΔRi 的列表。这个方程式系统可方便地写成下面的矩阵形式 ：
TΔV ＝ ΔR.(5.15)
在方程式 5.15 中包含的变量是阵列， 由下面定义 ：
T 是 n×2“变换矩阵” ， 由方程式 5.13 和 5.14 给出的导数所构建 ：
ΔV 是最佳参数的修正向量 ：而 ΔR 是余差的向量 ：
所述系统的尺寸 n 在理论上可等于齿的最大量 zmax， 或者是较小数值， 将在后面解释。
方程式 5.15 是方程式的超定系统， 因为它有比未知数 ( 修正值 Δr0 和 Δb) 更多 的限制 ( 余差的数 )。 理论上， 这样的系统是可完全解决的， 但它可通过余差的根均方 (RMS) 的最小化来优化 ：
其中， ΔRi 是由方程式 5.10 或 5.11 给出。
最小化的方法 ( 称为最小二乘法或 LS 法 ) 具有已知的解决方案， 根据由牛顿和高 斯给出的原始定义 ：
ΔV ＝ (TTT)-1TTΔR. (5.20)
在线性问题中， 方程式 5.20 的单独执行可提供 LS 解决方案的最终结果。在非线 性问题中， 例如目前的螺旋设计， 方程式 5.20 的单独执行时不足够的， 一个迭代方法称为
必要。通过这个迭代方法， 在方程式的每次计算之后， 系统的参数将由下式修正 ：
r0 ＝ r0-Δr0.(5.21)
b ＝ b-Δb， (5.22)
其中， Δr0 和 Δb 分别是由方程式 5.20 计算的修正向量的第一值和第二值 ( 参见 方程式 5.17)。
伴随这些参数的修正， 阵列 T 和 ΔR 是由来自方程式 5.6 直到 5.18 的所有相关部 分重新计算而构建的， 之后， 方程式 5.20 到 5.22 再次被执行。 迭代继续， 直到 RMS 改变 ( 方 程式 5.19) 到足够小。
由方程式 5.8 计算的支架偏移， 保证在闭合齿轮中的精确间距半径， 匹配所有齿， 而在开放齿轮中， 半径余差 ΔRi 仍保留。然而， 这些余差可通过减少所有偏移 li 来减半为 ΔRi 的一半。这个减少的偏移由下式计算 ：
li ＝ li-ΔRi/2， (5.23)
其中， 在方程式 5.23 的右侧， li 是从方程式 5.8 的最后计算中得到的。通过这个 方式， 所有原始余差都将在闭合齿轮和开放齿轮之间分开， 仅为它们原始值的一半。
最终偏移 li 是由在所述螺旋 ( 在圆盘上的槽的中央 ) 和所述间距半径之间的距 离来定义的。 然而， 一旦所述支架附着到所述齿的点不是精确地处于间距半径， 必须对支架 偏移作出适当的修正。 现在， 我们将定义该方程式系统的想要的尺寸， 由在方程式 5.16 和 5.18 的 n 给 出。正如下面所述的一定量的实施例， 来源于 LS 解决方案的径向余差显示了角度位置的抛 物线函数， 其中， 最大余差 ( 以它们的绝对值 ) 是在齿范围的两端和中间。如果我们对极大 的极小化解决方案 ( 使最大余差尽可能小 ) 感兴趣， 我们将在 LS 解决方案的过程中给出一 个最大权重到那些极限点， 而忽视所有其他齿。 为了使解决方案相称， 只有四个齿不得不被 考虑用于该方程式系统， 命名为第一、 最后和中间的两个齿。 例如， 如果齿 (zmax) 的量是 48， 对于最佳方案所选择的齿将不得不是 ：
i ＝ 1， 24， 25， and48， (5.24)
这使 n ＝ 4， 并在方程式 5.16 和 5.18 中仅保留四行。
在下一章中显示的这个结果确认 ： 这样的选择实际上提供了想要的极大的极小化 的解决方案。
关于 LS 计算的可能的改进的另一个意见已给出。如前所述， 方程式 2.4 是 b 的非 线性函数， 这意味着 LS 解决方案必须在迭代的协助下完成， 同时用于两个系统参数 r0 和 b。 然而， 参数 r0 显示在线性形式的方程式 2.4 中， 这意味着理论上它可以是通过表达为其他 参数如 b 的函数而从计算中求出。通过这样的方法， LS 解决方案可被减少为单个未知数的 形式， 这需要 f 的非线性函数的单独解决方案， 也使我们摆脱矩阵运算。然而， 这样的改进 需要跟多复杂的数学准备， 这会在一个必要的例子中完成以减少计算的负担。
数值实例
对于下面所示的数值实例， 已经采用以下输入数据 ：
m ＝ 5mm 模数
zmin ＝ 36 齿的最小量
zmax ＝ 48 齿的最大量
k ＝ 13a 齿的序号
fmax ＝ 500 度最大转角
根据方程式 4.1 到 4.3， 下面的几何参数已经被计算 ：
Rmin ＝ 90mm 最小间距半径
t1 ＝ 10 度在闭合齿轮中的间距角度
t2 ＝ 7.5 度在开放齿轮中的间距角度
在本例中， 侧铰联接是由齿的最小量来决定的， 其值是 36。根据方程式 3.2， 它的 特征尺度变成 ：
u ＝ 7.8390mm， v ＝ 0.3994mm
带有最佳铰接点位移 h( 方程式 4.4)
h ＝ 0.0571mm.
在本例中， 根据方程式 2.5 和 2.6 估算的参数的初始值是
R0 ＝ Rmin ＝ 90mm，
b ＝ 5.743×10-4 1/ 度。
接着， 在所述齿轮的两个极限状态的所有齿的角度值 f1i 和 f2i 是通过方程式 5.4 和 5.5 仅计算一次的。此后， 重复执行方程式 5.6 到 5.22， 直至 RMS( 方程式 5.19) 被改变 为小于 0.01mm。在本例中， 对于收敛， 需要四个迭代。最终优化的参数如下 ： r0 ＝ 83.68mm，
b ＝ 6.137×10-4 1/ 度。
在收敛之后， 径向余差的减半是由执行方程式 5.23 来完成的。
对于余差最小化而选择的齿的量， 是由方程式 5.24 给出的。
对于所述圆盘的三个不同旋转角度的余差是这样计算 ： 无旋转 ( 闭合齿轮 )， 全旋 转 (500 度， 开放齿轮 ) 和中间旋转 (250 度 )。计算得的最大余差是 0.06mm， 它们显示在极 限旋转状态——不转动或最大转动。在中间旋转时， 最大余差是比在这些极限状态的值小 一个量级。这些值都落入制造公差中， 它们被认为是齿轮的制备中可以接受的。
为了保持圆齿距几乎恒定而导入铰接点位移 h 的采用， 使得螺旋半径改变了约 0.1mm， 但在半径余差上不会有任何可检测的影响。
在本例中， 半径在 77.7 至 133.6mm 之间变动。
需要注意的是， 上面的说明仅是用作一些范例， 而有许多其他实施例都是可行的， 都落入本发明在所附的权利要求所定义的范围之内。