说明书一种基于贝塞尔曲线的带落角约束的末制导方法
技术领域
本发明涉及一种带落角约束制导方法，尤其涉及一种用于飞行器制导的基于贝塞尔曲线的带落角约束制导方法，属于飞行器制导技术领域。
背景技术
作为高速再入飞行器对地打击的最后环节，高精度末制导技术关系着整个飞行任务的成败。在实际打击任务中，为了取得最佳毁伤效果，终端角度约束往往具有重要的意义。近年来，规划思想也被用于了制导律设计之中。通过对飞行轨迹进行几何规划即可满足末端位置与角度的需求，通过对控制量进行规划可直接得到解析的控制指令，继而积分得到相应的飞行轨迹。利用规划技术可以在很大程度上简化了制导律的设计过程。此外，还可将其他变量引入性能指标来加以约束，更加符合多约束制导要求。飞行器规划策略在提高作战性能和生存能力方面具有重要作用。
路径规划作为规划策略中极为重要的一个大类，得到了相关学者的广泛关注。路径规划能够在契合飞行器不同的任务需求下，为飞行器规划出满意的飞行航迹，改善飞行品质，从而有效提高飞行器对地打击的成功率。贝塞尔曲线作为NURBS曲线的一种，因其具有较强的几何灵活性，同时含有较少的造型变量，对于飞行器，由于飞行弹道的几何本质为一条光滑曲线，而贝塞尔曲线几乎能够表征所有的光滑曲线，因此贝塞尔曲线在表征弹道时具有较好的契合性。
下面首先对贝塞尔曲线的基本概念进行介绍。贝塞尔曲线是利用空间上一组控制点定义的曲线,形状变化仅依赖于控制点个数与位置。N+1个控制点可定义N阶贝塞尔曲线，其表达形式如下:
P(τ)=Σi=0nPiBi,n(τ),τ∈[0,1]---(1)]]>
式中：Pi(0≤i≤n)被称为贝塞尔曲线的第i个控制点坐标，顺次连接Pi可以得到该贝塞尔曲线的特征多边形，贝塞尔曲线由特征多边形唯一确定。Bi,n(τ)为n次Bernstein基函数，其表达形式如下所示:
Bi,n(τ)=Cniτi(1-τ)n-i,Cni=n!k!(n-k)!---(2)]]>
贝塞尔曲线具有如下特性：
性质1：贝塞尔曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。
性质2：贝塞尔曲线起点和终点处的切线方向和特征多边形第一条边及最后一条边的走向一致。
性质3：贝塞尔曲线上的点均落在由其控制点Pi构成的凸包之中。
由上述介绍可以看出贝塞尔曲线具有较大的几何灵活性，构造简单，设计参数少，能够表征复杂的轨迹形状，满足-180deg～0deg的落角约束。贝塞尔曲线被广泛应用于飞行器滑翔段与巡航段轨迹规划贝塞尔曲线，俯冲段由于气动参数变化剧烈，飞行环境复杂多变。往往对制导律要求较高，提出能适应大范围落角约束下精确打击需求，且能在控制量饱和的情况下也能确保飞行器最终完成打击任务，并对对外界干扰与环境不确定性具有一定鲁棒性的末制导方法是非常必要的。
发明内容
本发明要解决的技术问题是提供一种基于贝塞尔曲线的带落角约束的末制导方法，能适应大范围落角约束下精确打击需求，且能在控制量饱和的情况下也能确保飞行器最终完成打击任务，并对外界干扰与环境不确定性具有一定鲁棒性。所述的大范围落角约束是指落角范围为-180°至0°。
本发明的目的是通过下述技术方案实现：
本发明公开一种基于贝塞尔曲线的带落角约束的末制导方法，包括如下步骤：
步骤1，忽略地球自转，建立飞行器质点动力学运动学方程：
x·m=Vmcosγmcosχm---(3)]]>
y·m=Vmsinγm---(4)]]>
z·m=-Vmcosγmsinχm---(5)]]>
V·m=-Dmmm-gcosγm---(6)]]>
γ·m=LmcosμmmmVm-gcosγmVm---(7)]]>
χ·m=-LmsinμmmmVmcosγm---(8)]]>
其中：xm,ym,zm为飞行器在惯性系下的位置坐标；Vm,γm,χm分别为速度，弹道倾角，弹道偏角；g为重力加速度；μm为倾侧角；Lm，Dm分别为升力和阻力，其中，Sref为飞行器的参考面积；ρ为大气密度；CLm,CDm分别为升力系数和阻力系数，升力系数CLm、阻力系数CDm是关于攻角αm和马赫数Ma的函数。
步骤2，基于贝塞尔曲线进行运动学轨迹规划。
当前的位置信息与速度方向和终端位置与角度约束确定飞行器轨迹，分别针对纵向平面构造贝塞尔曲线轨迹，所述的轨迹需为三阶以上的贝塞尔曲线。优选三阶贝塞尔曲线构造贝塞尔曲线轨迹。
若给定控制点坐标依次为(xA,yA,zA)，(pxA,pyA,pzA)，(pxB,pyB,pzB)，(xB,yB,zB)，可以得到飞行器坐标的三阶贝塞尔曲线方程：
这里为方便表示，将控制多边形起点(xA,yA,zA)和(xB,yB,zB)记做端点，(pxA,pyA,pzA)和(pxB,pyB,pzB)依旧记作控制点。
xm＝axτ3+bxτ2+cxτ+dx (9)
ym＝ayτ3+byτ2+cyτ+dy (10)
zm＝azτ3+bzτ2+czτ+dz (11)
其中：τ∈[0,1]为中间变量，公式(9)-(11)中的多项式系数可由下述公式(12)-(14)确定：
dx＝xA
cx＝3(pxA-xA)
（12）
bx＝3(pxB-pxA)-cx
ax＝xB-xA-cx-bx
dy＝yA
cy＝3(pyA-yA)
（13）
by＝3(pyB-pyA)-cy
ay＝yB-yA-cy-by
dz＝zA
cz＝3(pzA-zA)
（14）
bz＝3(pzB-pzA)-cz
az＝zB-zA-cz-bz
步骤3，基于步骤2给出的飞行器轨迹求解攻角αm、倾侧角μm制导指令。
步骤3.1采用逆动力学求解攻角αm、倾侧角μm制导指令。
在由贝塞尔曲线确定飞行器运动轨迹后，利用逆动力学理论求解制导指令，其法向加速度ay与纵向加速度az定义为：具有如下表达形式：
ay=Vm2sinγmγm′+gcosγm---(15)]]>
az=-Vm2sinγmcosγmχm′---(16)]]>
其中，'代表对y求导，γ′m,χ′m具有如下表达形式：
γm′=-sin2γm(cosχmx′′-sinχmz′′)χm′=-tanγm(sinχmxm′′+cosχmzm′′)---(17)]]>
结合上述的逆动力学分析可以看到，飞行器加速度指令不仅与飞行器当前飞行状态相关，同时也与飞行轨迹的形状(射程xm与横程zm关于高度ym一阶导数与二阶导数)相关，因此上述制导问题实质上转化为轨迹规划问题。
在求得飞行器加速度ay与az指令后，飞行器倾侧角μm可以由下述公式(18)确定：
μm=arctanazay---(18)]]>
由公式(18)以及飞行器加速度定义可推求飞行器升力Lm和升力系数CLm，进而反推出飞行器攻角αm指令。
步骤3.2，对飞行器当前状况进行实时反馈，反复重复步骤2和步骤3.1实现在线进行基于贝塞尔模型的轨迹重规划，推求下一时刻加速度指令，直至完 成全程的制导。在控制量饱和的情况下确保飞行器实现满足落角约束条件下的精确打击，并对外界干扰与环境不确定性具有一定鲁棒性。
针对飞行器俯冲段环境的剧烈变化以及控制量易出现饱和这一情况，此时，飞行器将偏离预先规划好的飞行轨迹，仅仅单纯采用跟踪固定轨迹难以保证打击精度。将飞行器当前飞行状态引入闭环反馈，通过实时反馈，以当前状态为起始条件，重复步骤2和步骤3.1实现在线进行基于贝塞尔模型的轨迹重规划，推求下一时刻加速度指令，带入飞行器动力运动学模型，得到新的飞行状态，反复进行这一过程，当飞行器由于外界扰动以及控制量饱和通过轨迹重规划，该制导律能够逐渐纠正偏差，最终完成全程的制导。
有益效果
1、本发明采用贝塞尔曲线进行轨迹规划，大大简化了计算量，具有较强的工程可操作性。贝塞尔曲线具有较大的几何灵活性，构造简单，设计参数少，能够表征复杂的轨迹形状，能够覆盖-180°至0°的大范围落角要求，实现对目标的全落角打击要求。
2、本发明对外部扰动及不确定性有着较强的鲁棒性，且能有效应对制导过程中的控制量饱和现象。
附图说明
图1(a)为末角约束为锐角的贝塞尔参数设计方法；
图1(b)为末角约束为钝角的贝塞尔参数设计方法；
图1(c)为末角约束为直角的贝塞尔参数设计方法；
图2为本发明的一种基于贝塞尔曲线的带落角约束的末制导方法流程图；
图3为两条贝塞尔曲线拼接的轨迹曲线；
图4为贝塞尔曲线拼接策略中参数选择示意图；
图5(a)为针对二维情况，不同落角约束下的飞行轨迹曲线；
图5(b)为针对二维情况，不同落角约束下的弹道倾角变化曲线；
图5(c)为针对二维情况，不同落角约束下的速度变化曲线；
图5(d)为针对二维情况，不同落角约束下的攻角变化曲线；
图6(a)为针对二维情况，不同初始角度下的飞行轨迹曲线；
图6(b)为针对二维情况，不同初始角度下的弹道倾角变化曲线；
图6(c)为针对二维情况，不同初始角度下的攻角变化曲线；
图7(a)为针对二维情况，大落角(-160°～-180°)约束下的飞行轨迹曲线；
图7(b)为针对二维情况，大落角(-160°～-180°)约束下的弹道倾角变化曲线；
图7(c)为针对二维情况，大落角(-160°～-180°)约束下的攻角变化曲线；
图8(a)为三维空间内针对不同落角约束下的飞行轨迹曲线；
图8(b)为三维空间内针对不同落角约束下的弹道倾角变化曲线；
图8(c)为三维空间内针对不同落角约束下的弹道偏角变化曲线；
图8(d)为三维空间内针对不同落角约束下的攻角变化曲线；
图8(e)为三维空间内针对不同落角约束下的倾侧角变化曲线；
图9(a)为三维空间内不同初始情况下的飞行轨迹曲线；
图9(b)为三维空间内不同初始情况下的弹道倾角变化曲线；
图9(c)为三维空间内不同初始情况下的弹道偏角变化曲线；
图9(d)为三维空间内不同初始情况下的攻角变化曲线；
图9(e)为三维空间内不同初始情况下的倾侧角变化曲线。
具体实施方式
为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对技术方案做进一步详细说明。
实施例1：本实施例针对二维空间，给出纵向平面内的落角约束在-150°～0°范围内的制导实例。
步骤1，忽略地球自转，建立二维空间内的飞行器质点动力学运动学方程如公式(19)-(22)所示。
x·m=Vmcosγm---(19)]]>
y·m=Vmsinγm---(20)]]>
V·m=-Dmmm-gcosγm---(21)]]>
γ·m=LmmmVm-gcosγmVm---(22)]]>
步骤2，基于贝塞尔曲线进行运动学轨迹规划。
当前的位置信息与速度方向和终端位置与角度约束确定飞行器轨迹，分别针对纵向平面构造贝塞尔曲线轨迹，所述的轨迹需为三阶以上的贝塞尔曲线。优选三阶贝塞尔曲线构造贝塞尔曲线轨迹。
若给定控制点坐标依次为(xA,yA)，(pxA,pyA)，(pxB,pyB)，(xB,yB)，其中为方便表示，将控制多边形起点(xA,yA)和(xB,yB)记做端点，(pxA,pyA)和(pxB,pyB)依旧记作控制点。
飞行器射程xm、高度ym的具体形式如公式(9)-(10)所示，多项式参数由公式(12)-(13)确定。
在贝塞尔曲线的构造过程中，为了简化参数的选择，定义了新变量贝塞尔参数。下面给出xoy平面内贝塞尔曲线及参数的选取方法。
1)-90°<γf<0°
k1=pxA-xAxB-xA,k2=pxB-xAxB-xA---(23)]]>
0≤k1≤k2≤1 (24)
当实现追踪打击任务时，若期望弹道倾角值较小，如图1(a)所示，控制点横坐标均位于闭区间[xA,xB]上，式中不等式确保了曲线的平滑性与可达性。
2)-150°<γf<-90°
随着打击任务的变化，对于迎头打击任务，在碰撞时刻要实现较大的碰撞角约束，此时式(23)-(24)中的给出的参数设计方法已不再适用，采用如下参数选取方法，如图(1)b所示：
k1=pxA-xApxi-xA,k2=pxB-xApxB-xA0≤k1,k2≤1---(25)]]>
其中：(pxi,pyi)为贝塞尔曲线起点处切线与曲线终点处切线的交点坐标。
pxi=yA-yB-xAtanγ0+xBtanγftanγf-tanγ0---(26)]]>
pyi=yAtanγf-tanγ0[xA-yB-xAtanγ0+xBtanγf)]tanγf-tanγ0---(27)]]>
当贝塞尔参数确定后，可得到相应的控制点坐标：
pxA=k1(pxi-xA)+xApxB=k2(xB-pxi)+pxipyA=tanγ0(pxA-xA)+yApyB=tanγf(pxB-xB)+yB---(28)]]>
当期望落角为-90°时，继续采用上述方法构造贝塞尔参数时，式(26)-式(28)求得的控制点坐标会出现奇异，通过变形，此时将图1(b)变形为图1(c)，可得到相应的控制点坐标如下所示：
k1=pxA-xApxi-xAk2=pyB-pyiyB-pyi0≤k1,k2≤1---(29)]]>
pxA=k1(pxi-xA)+xApxB=xBpyA=tanγ0(pxA-xA)+yApyB=k2(yB-pyi)+pyi---(30)]]>
这里需要注意，式(25)给出的贝塞尔参数构造方法对于-90°<γf<0°的部分情况同样适用，但是当期望弹道倾角γf与视线角λ满足条件|γf|<|λ|时，贝塞尔曲线端点处的切线无法相交，式(25)将无法适用。
步骤3，基于步骤2给出的飞行器轨迹求解攻角αm制导指令。
步骤3.1采用逆动力学求解攻角αm制导指令。
由于飞行器俯冲段飞行高度一般为单调递减，根据经验，采用高度代替tgo，作为自变量构建模型能够简化分析，更加符合工程实践同时，减少了由tgo估计引入的误差。将飞行器质点动力与运动学方程表示为以高度ym为自变量的方程：
xm′=dxmdym=cotγm---(31)]]>
Vm′=dVmdym=-Dm+mmgsinγmmmVmsinγm---(32)]]>
γm′=dγmdym=ay-gcosγmVm2sinγm---(33)]]>
式中:'代表对ym求导，ay代表纵向的加速度，它们具有如下的表达形式：
ay=Lmm---(34)]]>
由式(33)可以反求其加速度表达式如下：
ay=Vm2sinγmγm′+gcosγm---(35)]]>
即加速度指令可由即时的位置、速度、角度以及γ′m表示得到，利用逆动力学理论，对公式(31)继续求导则可以得到γ′m表达式：
γ′m＝-sin2γmx″ (36)
结合式(35)-(36)，飞行器制导指令与飞行器轨迹紧密相关，因此将上述制导问题转化为轨迹规划问题，结合公式(18)可以求解得到飞行器加速度指令ay，进而可以反推求得飞行器攻角αm。式(31)-(33)中的'均表示对高度ym求导，而贝塞尔表达式均表示为中间变量τ的函数，利用复合函数求导法则进行变化整理：
x′=dx/dτdy/dτ---(37)]]>
x′′=d2x/dτ2-(dx/dτ)(d2y/dτ2)/dy/dτ(dy/dτ)2---(38)]]>
步骤3.2，对飞行器当前状况进行实时反馈，反复重复步骤2和步骤3.1实现在线进行基于贝塞尔模型的轨迹重规划，推求下一时刻加速度指令，直至完成全程的制导。在控制量饱和的情况下确保飞行器实现满足落角约束条件下的精确打击，并对外界干扰与环境不确定性具有一定鲁棒性。
针对飞行器俯冲段环境的剧烈变化以及控制量易出现饱和这一情况，此时，飞行器将偏离预先规划好的飞行轨迹，仅仅单纯采用跟踪固定轨迹难以保证打击精度。将飞行器当前飞行状态引入闭环反馈，通过实时反馈，以当前状态为起始条件，重复步骤2和步骤3.1实现在线进行基于贝塞尔模型的轨迹重规划，推求下一时刻加速度指令，带入飞行器动力运动学模型，得到新的飞行状态，反复进行这一过程，当飞行器由于外界扰动以及控制量饱和通过轨迹重规划，该制导律能够逐渐纠正偏差，最终完成全程的制导。
本实施例给出纵向平面内的落角约束在-150°～0°范围内的制导实例。首先给出针对打击静止目标点期望落角为0°,-30°,-90°and-150°的仿真情况，弹道倾角初值为-3°。图5给出了仿真结果，由给出的飞行器轨迹与弹道倾角变化曲线可以看到，本实施例的一种基于贝塞尔曲线的带落角约束的末制导方法能够在满足大范围内的落角约束下实现对目标的精确打击。同时在打击时刻， 飞行器具有较高的速度，提高了毁伤效果。由图5(d)给出的攻角变化曲线看出，当飞行轨迹出现较大的转弯趋势时，攻角指令αm出现了明显的波动，这也导致飞行器速度有大幅度的衰减。
图6给出了在具有较大的初始偏差的情况下制导效果。初始弹道倾角分别选择为25°,10°,-10°和-25°。期望弹道倾角设定为-60°。由仿真结果可以看出，即使存在较大的初始偏差，飞行器在本实施例的一种基于贝塞尔曲线的带落角约束的末制导方法导引下能够实现带落角约束下的高精度制导。由攻角变化曲线可以看到，在飞行阶段初期出现了控制量饱和，本实施例的一种基于贝塞尔曲线的带落角约束的末制导方法仍能够保证飞行器朝向目标的趋势，最终顺利完成打击任务。
实施例2：本实施例针对二维空间，给出纵向平面内的落角约束在-180°～-150°范围内的制导实例，以此来验证在大落角下本实施例的一种基于贝塞尔曲线的带落角约束的末制导方法的有效性。
步骤1同实施例1。
步骤2，基于贝塞尔曲线进行运动学轨迹规划。
飞行器射程xm、高度ym的具体形式如公式(9)-(10)所示，多项式参数由公式(12)-(13)确定。
当飞行器需要以较大角度(-150°～-180°)对目标进行迎头打击时，采用上节给出的制导策略会出现较大的脱靶量。由三阶贝塞尔曲线的几何性质可知，在飞行轨迹初期很长一段距离内，弹道倾角的变化较小，直至接近目标时才出现较大的机动转弯，此时曲线二阶导数出现较大的波动变化，即过载需求增大，易出现控制量饱和。一旦出现饱和，在较短的距离内，即使采用轨迹重规划也无法保证飞行器能够以期望落角精确打击目标。
采用两段三阶贝塞尔曲线拼接可以大大提高曲线规划的灵活性。但随着曲线数量的增加，参数调节的计算量也相应增加，当采用两段拼接的贝塞尔曲线进行轨迹规划设计时，需要调节的参数增加至7个，其中包括第一段曲线的贝塞尔参数k11,k12,第一段曲线的终点(xmid,ymid)，斜率Kmid以及第二段曲线的贝塞尔参数k21,k22。图3给出了两段贝塞尔曲线拼接情况下的轨迹曲线。
为了保证两条贝塞尔曲线的平滑连接，要求曲线一阶导甚至二阶导参数连续，曲线在中间点(xmid,ymid)处满足一阶导参数连续条件，即此时第一段与第二段贝塞尔曲线在中间点处切线方向一致。
下面给出中间点(xmid,ymid)的确定方法。
在采用两段贝塞尔曲线拼接的策略时，中间点(xmid,ymid)的坐标以及曲线斜率Kmid,作为调试参数需要确定，一般而言，中间点的选择要满足两个条件：条件1为尽量减小第一段轨迹的长度，条件2为尽量使得全程控制量较小。对于中间的选择没有唯一的最优解，因此在选择的过程中，以简化参数调节为原则。
下面针对大落角约束下的打击任务，给出贝塞尔曲线中间点(xmid,ymid)以及斜率Kmid的一种构造方法：
①首先确定中间点(xmid,ymid)坐标。其选取方式由图4所示，为了方便选取，令中间点与目标点位于同一纵线上，其横坐标选取范围在总飞行高度的40％～60％内。
②确定中间点处的曲线斜率Kmid。对应切角在期望落角的25％～30％范围内选取。
结合工程实践经验，这里选择ymid＝y0-50％△y Kmid＝γ0-tan(30％△γ)。
式中：△y＝y0-yB，△γ＝γ0-γf。
当贝塞尔曲线末端角度约束满足在区间(-90°,0°]时，贝塞尔参数构造方法如公式(23)，公式(28)所示。
当贝塞尔曲线末端角度约束满足在区间[-180°,-90°)时，贝塞尔参数构造方法如公式(25)-(28)所示。
步骤3同实施例1。
对二维平面内的打击情况进行数值仿真，选取初始弹道倾角为-3°。仿真结果如图7所示。其中图7(a)中的红色标记点表示两条贝塞尔曲线的拼接点，可以看到由于贝塞尔曲线的几何性质，该拼接点为航路必经点。由仿真结果可以看出，该制导策略能够实现在大落角约束下的飞行器导引，并达到较高的精度，其中弹道倾角误差不大于0.8°，在误差允许范围内。在飞行末端，过载指令没有出现饱和。
注意到应用本实施例的一种基于贝塞尔曲线的带落角约束的末制导方法，在连接点处轨迹只满足连续条件，而不满足光滑条件，即二阶连续条件，由于 控制量表达形式中包含飞行器轨迹曲线的二阶导数x″,z″，此时加速度指令会在连接处发生跳变，但一般跳变幅度较小，通过加入二阶滞后环节能够得到较好的平滑，不影响控制系统跟踪效果。
实施例3：
本实施例给出三维空间内的制导实例，验证本实施例的一种基于贝塞尔曲线的带落角约束的末制导方法在三维空间内的制导效果。
步骤1，忽略地球自转，建立飞行器质点动力学运动学方程如公式(3)-(8)所示。
步骤2，基于贝塞尔曲线进行运动学轨迹规划。
本发明采用贝塞尔曲线对飞行器轨迹划进行规划为实现对飞行器末端的位置与角度约束。优选三阶贝塞尔曲线构造贝塞尔曲线轨迹。若给定控制点坐标依次为(xA,yA,zA)，(pxA,pyA,pzA)，(pxB,pyB,pzB)，(xB,yB,zB)，其中为方便表示，将控制多边形起点(xA,yA,zA)和(xB,yB,zB)记做端点，(pxA,pyA,pzA)和(pxB,pyB,pzB)依旧记作控制点。
飞行器射程xm、高度ym、横程zm的具体形式如公式(9)-(11)所示，多项式参数由公式(12)-(14)确定。
在贝塞尔曲线的构造过程中，为了简化参数的选择，贝塞尔参数选取方法见实施例1。
当贝塞尔参数确定后，可得到相应的控制点坐标：
pzi=yA-yB-zAtanχ0+zBtanχftanχf-tanχ0---(39)]]>
pyi=yAtanχf-tanχ0[zA-yB-zAtanχ0+zBtanχf)]tanχf-tanχ0---(40)]]>
pxA=k1(pxi-xA)+xApxB=k2(xB-pxi)+pxipyA=tanγ0cosχ0(pxA-xA)+yApyB=tanγfcosχf(pxB-xB)+yBpzA=tan(-χ0)(pxA-xA)+zApzB=tan(-χf)(pxB-xB)+zB---(41)]]>
步骤3，基于步骤2给出的飞行器轨迹求解攻角αm、倾侧角μm制导指令。
步骤3.1采用逆动力学求解攻角αm、倾侧角μm制导指令。
由于飞行器俯冲段飞行高度一般为单调递减，根据经验，采用高度代替tgo，作为自变量构建模型能够简化分析，更加符合工程实践同时，减少了由tgo估计引入的误差。将飞行器质点动力与运动学方程表示为以高度ym为自变量的方程：
xm′=dxmdym=cotγmcosχm---(42)]]>
zm′=dzmdym=-cotγmsinχm---(43)]]>
Vm′=dVmdym=-Dm+mmgsinγmmmVmsinγm---(44)]]>
γm′=dγmdym=ay-gcosγmVm2sinγm---(45)]]>
χm′=dχmdym=-azVm2cosγmsinγm---(46)]]>
式中:'代表对ym求导，ay,az代表纵向与法向的加速度，它们具有如下的表达形式：
ay=Lmcosμmm,az=Lmsinμmmm---(47)]]>
由公式(45)-(47)可以反求其加速度表达式如下：
ay=Vm2sinγmγm′+gcosγm---(48)]]>
az=-Vm2sinγmcosγmχm′---(49)]]>
即加速度指令可由即时的位置、速度、角度以及γ′m,χ′m表示得到，利用逆动力学理论，对公式(42)-(43)继续求导则可以得到γ′m,χ′m表达式：
γ′m＝-sin2γm(cosχmx″-sinχmz″)
(50)
χ′m＝-tanγm(sinχmx″m+cosχmz″m)
结合公式(50)，公式(18)可以反推求得飞行器攻角αm与倾侧角μm指令。
式(42)-(46)中的'均表示对高度ym求导，而贝塞尔表达式均表示为中间变量τ的函数，利用复合函数求导法则进行变化整理：
x′=dx/dτdy/dτ---(51)]]>
z′=dz/dτdy/dτ---(52)]]>
x′′=d2x/dτ2-(dx/dτ)(d2y/dτ2)/dy/dτ(dy/dτ)2---(53)]]>
z′′=d2z/dτ2-(dz/dτ)(d2y/dτ2)/dy/dτ(dy/dτ)2---(54)]]>
步骤3.2，对飞行器当前状况进行实时反馈，反复重复步骤2和步骤3.1实现在线进行基于贝塞尔模型的轨迹重规划，推求下一时刻加速度指令，直至完成全程的制导。在控制量饱和的情况下确保飞行器实现满足落角约束条件下的精确打击，并对外界干扰与环境不确定性具有一定鲁棒性。
首先在给定初始条件的情况下，给出了在不同期望落角约束下的导引结果；继而通过仿真验证在同一终端约束下，本实施例的一种基于贝塞尔曲线的带落角约束的末制导方法在具有较大初始偏差情况下的制导性能。
图8(a)-图8(e)给出了三维空间内针对不同落角约束下的仿真结果，图8(a)-图8(e)分别给出了飞行轨迹曲线、弹道倾角γm变化曲线、弹道偏角χm变化曲线、攻角αm变化曲线、倾侧角μm变化曲线。
图8(a)-图8(e)给出了三维空间内针对不同初始角度约束下的仿真结果，图9(a)-图9(e)分别给出了飞行轨迹曲线、弹道倾角γm变化曲线、弹道偏角χm变化曲线、攻角αm变化曲线、倾侧角μm变化曲线。
由图8(a)-图8(e)，图9(a)-图9(e)的仿真结果可以看出，即使在具有较大的初始角度偏差时，本实施例的一种基于贝塞尔曲线的带落角约束的末制导方法针对三维空间的打击情况下依旧具有良好的导引性能，同时能够在保证较小脱靶量的情况下实现大范围落角约束下的打击任务，碰撞时刻的弹道倾角与弹道偏角误差绝对值不超过0.8°，在误差允许范围内。攻角与倾侧角指令平滑，易于舵面控制系统跟踪。
综上所述，本发明公开的一种基于贝塞尔曲线的带落角约束的末制导方法，在复杂环境与控制量饱和的情况下能够在二维平面与三维空间实现对地面固定目标带落角约束下的精确打击，具有很高的工程应用价值。
本发明保护范围不仅局限于本发明给出的三个实施例，实施例用于解释本发明，凡与本发明在相同原理和构思条件下的变更或修改均在本发明公开的保护范围之内。