一种航天器相对运动的采样控制方法 【技术领域】
本发明涉及一种航天器的采样控制方法。背景技术 连续推力看控制是一种重要的航天器轨道机动控制形式， 在航天器自主交会、 编 队飞行、 空间站停靠等多种航天器相对运动任务中获得广泛应用。
目前很多利用连续推力形式的轨道机动控制方法完全基于连续系统模型和连续 控制器形式。但随着计算机技术的飞速发展， 实际工程中采用的控制器多为数字信号形式 的计算机系统。在这种系统中， 控制过程需要利用采样器对航天器相对运动状态进行固定 时间间隔的采样， 控制器对采样信号进行数字处理并产生相应的离散控制信号， 通过零阶 保持器将控制信号输入轨道推进器使其产生连续的控制推力驱动航天器进行相应的轨道 机动。 这个过程实际上是一个采样控制过程， 采样点的间隔时间是采样控制的重要参数， 也 可以把这个采样间隔时间看作是数字计算机的处理周期。
综上， 目前采用连续信号形式设计控制器时通常假设测量信号和控制信号均为严 格的实时信号， 忽略了数字控制器的处理周期， 因此在实际应用中难以获得预期的控制效 果。 此外， 由于多种复杂因素的影响， 航天器轨道推进器在采样时刻产生的推力与控制器计 算的期望推力之间存在难以测定的偏差， 这也将很大程度上影响轨道机动的精确性和安全 性。
发明内容 本发明为解决采用现有的航天器相对运动的采样控制方法忽略了数字控制器的 处理周期和偏差， 影响航天器轨道的精确性和安全性的问题， 进而提供了一种航天器相对 运动的采样控制方法。
本发明为解决上述技术问题采取的技术方案是 ： 所述航天器相对运动的采样控制 方法由以下步骤实现的 ：
1. 一种航天器相对运动的采样控制方法， 其特征在于所述采样控制方法由以下步 骤实现的 ：
步骤 A、 建立航天器相对运动动力学模型 ：
设两个航天器为追踪航天器和目标航天器， 目标轨道为近似圆轨道， 以目标航天 器作为原点建立相对运动坐标系
将目标航天器的质心作为坐标系原点 o， ox 轴位于目标航天器轨道平面内， 正向 为地心指向航天器方向 ； oy 轴为目标航天器运行方向 ； oz 轴垂直于轨道平面并与其他两轴 构成右手直角坐标系 ；
设追踪航天器相对于目标航天器的相对位置在 x， y 及 z 轴上的分量为 x(t)、 y(t) 和 z(t)， 相对运动速度在相应坐标轴上的分量为 和 则相对运动状态向量为
设 ux(t)、 uy(t) 和 uz(t) 分别为作用在 x、 y 和 z 轴上的控制推力， 则控制输入向量定义为 u(t) ＝ [ux(t)， uy(t)， uz(t)]T ； 追踪航天器质量为 m， 则 相对运动的状态空间的系统方程可以写为 ：
式中 A 为系统状态矩阵， B 为输入矩阵， 分别有如下形式 ：
其中 n 为目标航天器的运行角速度 ；
步骤 B、 对两个航天器相对状态进行采样 ：
在追踪航天器和目标航天器相对运动过程中， 采样器在采样时刻对追踪航天器和 目标航天器相对状态进行采样， 控制器根据采样信号计算此时刻的控制推力并产生离散形 式的控制信号， 控制信号通过零阶保持器驱动轨道推进器输出相应的连续控制推力 ；
步 骤 B1、 设 tk 是 采 样 点 时 刻， 两 个 航 天 器 的 相 对 运 动 状 态 在 t1、 t2、 ...、 tk、 tk+1、 ... 时刻被控制器采集， 处于 tk ≤ t ＜ tk+1 时间段内的状态均被认为是 tk 时刻的状态 进行处理 ； 同样， 与 tk 时刻运动状态相对应的推力控制信号也以采样信号形式输出到零阶 保持器， 进而驱动推进器在 tk ≤ t ＜ tk+1 时段内对追踪航天器以此推力进行相应的机动控 制； 可见， 对于 tk ≤ t ＜ tk+1， 系统方程 (1) 中连续形式的控制输入向量 u(t) 转化为采样点 形式的控制输入向量 u(tk)， 其形式为 ：
u(tk) ＝ Kx(tk) (2)
两个航天器相对运动过程中有限推力条件由下式表示 ：
|ui(tk)| ≤ ui， i ＝ x， y， z (3) max，
其中 ui， y， z) 为 x、 y 和 z 轴上的控制推力上界 ； max(i ＝ x，
步骤 B2、 确定实际推力为 ur 与控制律期望推力为 ud 之间的关系
假设推进器产生的推力值同期望推力值之间的偏差分布在一个确定的范围内， 设 实际推力为 ur， 控制律期望推力为 ud ；
当控制律期望推力 ud ＝ 0 时， 即推力器关闭， 此时推力器的非线性特性也无从体 现， 因此输出值 ur ＝ 0 ； 但当期望控制推力不为零时， 推进器开始工作， 随着推力需求增大， 其非线性影响产生的推力偏差也相应增大， 而且此偏差通常难以测得 ；
在期望推力值附近假想出的一个扇形区域， 扇形区域的上下边界线分别为 ur ＝ σhud 和 ur ＝ σlud， 实际推力值分布于此扇形区域内， 设推力器实际输出的推力向量为
S(u(tk)) ＝ [secx(ux(tk))， secy(uy(tk))， secz(uz(tk))]T (3)
式中 seci(ui(tk))(i ＝ x， y， z) 为 x、 y 和 z 轴上的实际输出推力， 满足如下关系
σliui(tk) ≤ seci(ui(tk)) ≤ σhiui(tk)， i ＝ x， y， z (4)
其中 σli(i ＝ x， y， z) 为 x、 y 和 z 轴上推力扇形区域的下界比例系数， σhi(i ＝ x， y， z) 为 x、 y 和 z 轴上推力扇形区域的上界比例系数 ； 由 (1)、 (2)、 (3) 式， 相对运动系统 方程可转化为如下形式 ：
步骤 C、 利用步骤 B 中所述的扇形区域的上下边界线构造 M 和 N 矩阵， 公式如下 ：式中 diag{ } 表示对角矩阵， 定义向量
η(tk) ＝ S(u(tk))-Mu(tk) (8)
由公式 (8) 可得到实际输出控制推力 S(u(tk))， 见公式 (9)
S(u(tk)) ＝ η(tk)+Mu(tk) (9)
步骤 D、 求得相应的状态反馈控制律 ：
设相邻两个采样点的时间间隔上界为 h， 即 tk+1-tk ≤ h ； 定义 d(t) ＝ t-tk， 则 d(t) 满足 d(t) ≤ h， 且采样点 tk 可以写为 tk ＝ t-(t-tk) ＝ t-d(t)， 采样点时刻的状态向量可 写为
x(tk) ＝ x(t-d(t)) (10)
则由 (2) 和 (10) 可得相应的状态反馈控制律为 u(tk) ＝ Kx(tk) ＝ Kx(t-d(t)) (11) 将公式 (9) 和公式 (11) 代入公式 (5)， 可将相对运动系统方程进一步转化为 ：步骤 E、 引入两个正定对称矩阵 P 和 Q 并定义如下李亚普诺夫泛函
由状态向量 x(t) 的定义可知， x(t) 由一个非零向量收敛到一个零向量即意味着 两航天器相对位置和相对速度均为零， 则系统方程 (12) 的渐进稳定也就意味着追踪航天 器与目标航天器能够实现交会， 为了保证相对运动系统方程 (12) 的渐进稳定性， 引入两个 正定对称矩阵 P 和 Q 并定义如下李亚普诺夫泛函
V(t) ＝ V1(t)+V2(t) (13)
其中
根据相应定义及矩阵不等式相关结论， 可得
其中矩阵 Γ1、 Γ1 和 Γ1 由以下各式给定
根据公式 (15)， 如果矩阵 K 能够满足下式 Γ1+hΓ2-h-1Γ3 ＜ 0 (16) 那么 即系统方程 (12) 渐近稳定， 从而航天器能够实现交会， 因此， 将 (16)式作为控制律设计过程的一个约束条件 ；
步骤 F、 求得交会过程完成并且推力满足公式 (3) 上界约束条件 ：
步骤 F1、 将航天器轨道机动推进器的有限推力条件写为如下形式
则有限推力条件可由以下不等式条件满足其中 ρ 为一个给定常数满足 V(0) ＜ ρ， 其中 V(0) 为 (13) 式在初始条件下的取 值； 可见， 利用 (18) 式结合上一步中得到的 (16) 式求得的控制矩阵 K 即可保证交会过程完 成并且推力满足上界约束条件 (3) ；
步骤 F2、 对 (16) 和 (18) 式进行求解， 通过矩阵不等式变换将两式进一步转化为以 下两个矩阵不等式
式中 X ＝ P-1， Y ＝ KX，μ 为一给定正数并满足相应矩阵具有如下形式
如果给定 umax， 则 μ 给定， (19) 式和 (20) 式是关于 X、 Y 和 的线性矩阵不等式 ； 步骤 G、 利用 MATLAB 软件中线性矩阵不等式 (LMI) 工具箱求可行解 ： 利用 MATLAB 软件中线性矩阵不等式 (LMI) 工具箱对于 (19) 和 (20) 式进行求解 利用算得的 X 和 Y 矩阵通过下式计算状态反馈增益矩阵 K-1得到其可行解
K ＝ YX (21) 至此， 即得到满足设计要求的航天器相对运动的状态反馈采样控制律。 u(tk) ＝ Kx(tk) 本发明具有以下有益效果 ： 本发明的采样控制方法考虑了数字控制器的处理周期， 并且考虑了采样时刻产生的推力与控制器计算的期望推力之间存在难以测定的偏差， 与现有的航天器相对运动的采 样控制方法相比， 本发明的采样控制方法的状态反馈控制律可以使两航天器在相应控制推 力作用下实现交会， 所需推力在运行过程中航天器通过实时状态在轨确定， 并且所需推力 均在允许推力范围内， 大大提高了航天器轨道机动的精确性和安全性， 本发明在实际应用 中可以获得预期的控制效果。 附图说明 图 1 是本发明的航天器相对运动的采样控制方法的流程图， 图 2 是本发明航天器 相对运动坐标系示意图 ( 其中 0 为地球质心， 1 为追踪航天器， 2 为目标航天器 )， 图 3 是航
天器相对运动采样控制系统示意图， 图 4 是实际推力 ur 与期望推力 ud 的关系图 ( 其中 表 图 5 是航天器相对位 示推力扇形区域上界， 表示期望推力， 表示推力扇形区域下界 )， 置在 x 轴和 y 轴上分量随时间变化曲线， 图 6 是交会过程期望控制推力随时间变化图， 图7 是交会过程实际控制推力随时间变化图， 图 8 是 δ ＝ 0.05 时对应的轨道机动过程所需的 最大推力随采样时间变化图， 图 9 是 δ ＝ 0.1 时对应的轨道机动过程所需的最大推力随采 样时间变化图， 图 10 是 δ ＝ 0.15 时对应的轨道机动过程所需的最大推力随采样时间变化 图， 图 11 是 δ ＝ 0.2 时对应的轨道机动过程所需的最大推力随采样时间变化图。 具体实施方式
具体实施方式一 ： 本实施方式的航天器相对运动的采样控制方法是由以下步骤实现的 ： 步骤 A、 建立航天器相对运动动力学模型 ：
设两个航天器为追踪航天器和目标航天器， 目标轨道为近似圆轨道， 以目标航天 器作为原点建立相对运动坐标系 ( 如图 2 所示 )
将目标航天器的质心作为坐标系原点 o， ox 轴位于目标航天器轨道平面内， 正向 为地心指向航天器方向 ； oy 轴为目标航天器运行方向 ； oz 轴垂直于轨道平面并与其他两轴 构成右手直角坐标系 ；
设追踪航天器相对于目标航天器的相对位置在 x， y 及 z 轴上的分量为 x(t)、 y(t) 和 z(t)， 相对运动速度在相应坐标轴上的分量为 和 则相对运动状态向量为
设 ux(t)、 uy(t) 和 uz(t) 分别为作用在 x、 y 和 z 轴上的 控制推力， 则控制输入向量定义为 u(t) ＝ [ux(t)， uy(t)， uz(t)]T ； 追踪航天器质量为 m， 则 相对运动的状态空间的系统方程可以写为 ：
式中 A 为系统状态矩阵， B 为输入矩阵， 分别有如下形式 ：
其中 n 为目标航天器的运行角速度 ；
步骤 B、 对两个航天器相对状态进行采样 ：
在追踪航天器和目标航天器相对运动过程中， 采样器在采样时刻对追踪航天器和 目标航天器相对状态进行采样， 控制器根据采样信号计算此时刻的控制推力并产生离散形 式的控制信号， 控制信号通过零阶保持器驱动轨道推进器输出相应的连续控制推力 ( 如图 3 所示 )
步 骤 B1、 设 tk 是 采 样 点 时 刻， 两 个 航 天 器 的 相 对 运 动 状 态 在 t1、 t2、 ...、 tk、 tk+1、 ... 时刻被控制器采集， 处于 tk ≤ t ＜ tk+1 时间段内的状态均被认为是 tk 时刻的状态 进行处理 ； 同样， 与 tk 时刻运动状态相对应的推力控制信号也以采样信号形式输出到零阶 保持器， 进而驱动推进器在 tk ≤ t ＜ tk+1 时段内对追踪航天器以此推力进行相应的机动控
制； 可见， 对于 tk ≤ t ＜ tk+1， 系统方程 (1) 中连续形式的控制输入向量 u(t) 转化为采样点 形式的控制输入向量 u(tk)， 其形式为 ：
u(tk) ＝ Kx(tk) (2)
两个航天器相对运动过程中有限推力条件由下式表示 ：
|ui(tk)| ≤ ui， i ＝ x， y， z (3) max，
其中 ui， y， z) 为 x、 y 和 z 轴上的控制推力上界 ； max(i ＝ x，
步骤 B2、 确定实际推力为 ur， 控制律期望推力为 ud 之间的关系
在每个采样点时刻， 由于推力器内部燃料损耗、 摩擦等因素， 推进器产生的推力值 同期望推力值必然存在难以测定的偏差 ； 假设推进器产生的推力值同期望推力值之间的偏 差分布在一个确定的范围内， 设实际推力为 ur， 控制律期望推力为 ud， 两个推力值之间的关 系如图 4 所示 ；
当控制律期望推力 ud ＝ 0 时， 即推力器关闭， 此时推力器的非线性特性也无从体 现， 因此输出值 ur ＝ 0 ； 但当期望控制推力不为零时， 推进器开始工作， 随着推力需求增大， 其非线性影响产生的推力偏差也相应增大， 而且此偏差通常难以测得 ；
在期望推力值附近假想出的一个扇形区域 ( 如图 4 所示 )， 扇形区域的上下边界线 分别为 ur ＝ σhud 和 ur ＝ σlud， 实际推力值分布于此扇形区域内， 设推力器实际输出的推 力向量为
S(u(tk)) ＝ [secx(ux(tk))， secy(uy(tk))， secz(uz(tk))]T (3)
式中 seci(ui(tk))(i ＝ x， y， z) 为 x、 y 和 z 轴上的实际输出推力， 满足如下关系
σliui(tk) ≤ seci(ui(tk)) ≤ σhiui(tk)， i ＝ x， y， z (4)
其中 σli(i ＝ x， y， z) 为 x、 y 和 z 轴上推力扇形区域的下界比例系数， σhi(i ＝ x， y， z) 为 x、 y 和 z 轴上推力扇形区域的上界比例系数 ； 由 (1)、 (2)、 (3) 式， 相对运动系统 方程可转化为如下形式 ：步骤 C、 利用步骤 B 中所述的扇形区域的上下边界线构造 M 和 N 矩阵， 公式如下 ：式中 diag{ } 表示对角矩阵， 定义向量
η(tk) ＝ S(u(tk))-Mu(tk) (8)
由公式 (8) 可得到实际输出控制推力 S(u(tk))， 见公式 (9)
S(u(tk)) ＝ η(tk)+Mu(tk) (9)
步骤 D、 求得相应的状态反馈控制律 ：
设相邻两个采样点的时间间隔上界为 h， 即 tk+1-tk ≤ h ； 定义 d(t) ＝ t-tk， 则 d(t) 满足 d(t) ≤ h， 且采样点 tk 可以写为 tk ＝ t-(t-tk) ＝ t-d(t)， 采样点时刻的状态向量可 写为
x(tk) ＝ x(t-d(t)) (10)
则由 (2) 和 (10) 可得相应的状态反馈控制律为 u(tk) ＝ Kx(tk) ＝ Kx(t-d(t)) (11) 将公式 (9) 和公式 (11) 代入公式 (5)， 可将相对运动系统方程进一步转化为 ：步骤 E、 引入两个正定对称矩阵 P 和 Q 并定义如下李亚普诺夫泛函
由状态向量 x(t) 的定义可知， x(t) 由一个非零向量收敛到一个零向量即意味着 两航天器相对位置和相对速度均为零， 则系统方程 (12) 的渐进稳定也就意味着追踪航天 器与目标航天器能够实现交会， 为了保证相对运动系统方程 (12) 的渐进稳定性， 引入两个 正定对称矩阵 P 和 Q 并定义如下李亚普诺夫泛函
V(t) ＝ V1(t)+V2(t) (13)
其中
根据相应定义及矩阵不等式相关结论， 可得
其中矩阵 Γ1、 Γ1 和 Γ1 由以下各式给定
根据公式 (15)， 如果矩阵 K 能够满足下式 Γ1+hΓ2-h-1Γ3 ＜ 0 (16) 那么 即系统方程 (12) 渐近稳定， 从而航天器能够实现交会， 因此， 将 (16)式作为控制律设计过程的一个约束条件 ；
步骤 F、 保证交会过程完成并且推力满足公式 (3) 上界约束条件 ：
步骤 F1、 将航天器轨道机动推进器的有限推力条件写为如下形式
则有限推力条件可由以下不等式条件满足其中 ρ 为一个给定常数满足 V(0) ＜ ρ， 其中 V(0) 为 (13) 式在初始条件下的取 值； 可见， 利用 (18) 式结合上一步中得到的 (16) 式求得的控制矩阵 K 即可保证交会过程完 成并且推力满足上界约束条件 (3) ；
步骤 F2、 对 (16) 和 (18) 式进行求解， 通过矩阵不等式变换将两式进一步转化为以 下两个矩阵不等式
式中 X ＝ P-1， Y ＝ KX，μ 为一给定正数并满足相应矩阵具有如下形式
如果给定 umax， 则 μ 给定， (19) 式和 (20) 式是关于 X、 Y 和 的线性矩阵不等式 ；步骤 G、 利用 MATLAB 软件中线性矩阵不等式 (LMI) 工具箱求可行解 ：
利用 MATLAB 软件中线性矩阵不等式 (LMI) 工具箱对于 (19) 和 (20) 式进行求解 得到其可行解 (X， Y， Q)， 利用算得的 X 和 Y 矩阵通过下式计算状态反馈增益矩阵 K -1
K ＝ YX (21)
至此， 即得到满足设计要求的航天器相对运动的状态反馈采样控制律。
u(tk) ＝ Kx(tk)
本发明方法的实例验证 ：1) 目标航天器质量 ： 200kg 2) 目标航天器运行轨道半径 ： 42241km 3) 目标航天器轨道运行平均角速度 ： 0.001117rad/s 4) 初始时刻两航天器的相对状态 ： [100， 150， 0， 0， 0， 0] 5) 设定脉冲推力上界为 500N 6) 追踪航天器轨道推进器产生的实际推力与期望推力满足如下关系 S(u(tk)) ＝ u(tk)+δu(tk)sin[u(tk)] 式中 δ 为一任意给定的常数值， 则非线性影响程度可通过调整参数 δ 的大小来实现 ； 控制律求解 ：
设定采样间隔时间上界 h ＝ 0.1s， 推力非线性程度 δ ＝ 0.1， 依据上述计算过程， 利用 MATLAB 软件线性矩阵不等式 (LMI) 工具箱对不等式 (19) 式和 (20) 式进行求解， 得到 状态反馈增益矩阵 K 为如下形式
控制律作用效果 ：
根据上述结果， 得到状态反馈脉冲控制律 u(tk) ＝ Kx(tk)， 将此控制律应用于追踪 航天器， 使其从初始位置开始自主确定交会过程所需控制推力进行运动 ( 如图 5 所示 )
采用设计的控制律追踪航天器可以在轨根据实时相对运动状态自主计算所需控 制推力的大小， 以 y- 轴为例， 如图 6 和图 7 所示的交会过程中 y- 轴推力变化情况以及实际 推力和期望推力间的对比图， 由图 6 和图 7 可见， 控制推力符合给定的有限脉冲推力条件， 并且在推力存在偏差情况下航天器依然能够实现交会 ；
此外， 对于反馈增益矩阵 K 的求解， 参数 h 和 δ 的取值具有一定的限度 ： 当采样间 隔过大或推进器非线性影响较大时， 可能会造成线性矩阵不等式无法求解 ； 因此， 此控制律 设计方法对于 h 和 δ 的容忍程度也是对其进行评价的重要指标 ； 表 1 列出对于不同的 h 取 值， 能够保证控制器 K 存在的最大 δ 值， 表 2 列出不同 δ 情况下， 保证控制器 K 存在的最 大采样间隔上界 hmax， 表 1 和表 2 如下 ：
表 1 不同采样点间隔上界 h 对应的最大可容忍非线性程度 δ
表 2 不同非线性程度 δ 对应的最大可容忍采样间隔上界 h参数 h 和 δ 的不同取值在求解控制律或对轨道机动过程进行分析时都具有非常 重要的影响， 图 8 ～ 11 给出了 δ ＝ 0.05、 δ ＝ 0.1、 δ ＝ 0.15 和 δ ＝ 0.2 四种情况下不 同 h 值对应的轨道机动过程所需的最大推力 ；
综合以上各图可见， 对于允许的采样间隔时间上界 h 和推力非线性程度参数 δ， 应用所设计的状态反馈控制律可以使两航天器在相应控制推力作用下实现交会， 所需推力 在运行过程中航天器通过实时状态在轨确定， 并且所需推力均在允许推力范围内。