一种单变量报警系统的报警线设计方法及系统.pdf

本发明涉及一种单变量报警系统的报警线设计方法及系统。方法包括：获取过程信号并进行状态划分，得到一系列离散的状态；采用平滑法对划分后的状态进行平滑处理，使过程信号只在相邻状态间转移；利用古典概型的方法从经过平滑处理的过程信号中估计一步转移矩阵；利用一步转移矩阵计算报警概率图中的统计量；利用报警概率图中的统计量构建判决函数，计算各个状态信号对应的判决函数值，将报警线设置在判决函数取得最大值处。本发明可实现对单变量报警系统进行报警线的设计，使得报警系统的误报率和漏报率较小，并且操作人员能有更多的时间对报警做出反应。

1.一种单变量报警系统的报警线设计方法，其特征在于，包括如下步骤：
S1，获取过程信号并进行状态划分，得到一系列离散的状态；
S2，采用平滑法对划分后的状态进行平滑处理，使过程信号只在相邻状态间转移；
S3，利用古典概型的方法从经过平滑处理的过程信号中估计一步转移矩阵；
S4，利用一步转移矩阵计算报警概率图中的统计量；
S5，利用报警概率图中的统计量构建判决函数，计算各个状态信号对应的判决函数值，
将报警线设置在判决函数取得最大值处。
2.根据权利要求1所述的单变量报警系统的报警线设计方法，其特征在于，S1的具体实
现包括：将过程信号的原始样本数据x(t)按照从小到大的顺序进行排序得到顺序样本数据
xo(t)，根据顺序样本数据xo(t)确定区间间隔，根据原始样本数据所处的区间确定原始样本
数据所处的状态，得到一系列离散的状态，其中每个状态包括Z个样本数，Z为正整数。
3.根据权利要求1所述的单变量报警系统的报警线设计方法，其特征在于，所述状态包
括报警线下状态、报警状态和报警线上状态，设报警线下的状态数为N1，报警线上的状态数
为N2，S1还包括对报警线下的状态数N1进行修正的步骤，具体包括：
a,设N1的初始值为n0，并给定一个转移概率阈值γ；
b，计算状态1到报警状态A的转移概率P1A，如果它的值小于γ，就令N1＝N1-1；
c，重复步骤a和b直到P1A的值大于γ。
4.根据权利要求1所述的单变量报警系统的报警线设计方法，其特征在于，S2的具体实
现包括：
当t时刻过程信号处于状态i,如果t+1时刻过程信号的取值等于i，则令令平滑后的过
程信号处于状态i；
当t时刻过程信号处于状态i,如果t+1时刻过程信号的取值大于i，则令令平滑后的过
程信号处于状态i+1；
当t时刻过程信号处于状态i,如果t+1时刻过程信号的取值小于i，则令令平滑后的过
程信号处于状态i-1。
5.根据权利要求1所述的单变量报警系统的报警线设计方法，其特征在于，S3的具体实
现包括：所述一步转移矩阵中第i行第j列元素的值为状态i出现且下一时刻状态j出现的次
数与状态i出现的次数的比值。
6.根据权利要求5所述的单变量报警系统的报警线设计方法，其特征在于，所述报警概
率图具体包括各个状态的转移概率和各个状态的平均转移时间；
各个状态的转移概率的值越大，则越容易从报警线下状态转移到报警状态或者从报警
状态转移到报警线上状态；
各个状态的平均转移时间的值越大，则操作人员能有更多的时间对已发生或者即将到
来的报警做出反应。
7.根据权利要求6所述的单变量报警系统的报警线设计方法，其特征在于，各个状态的
转移概率包括：
报警线下状态转移到报警状态的概率PkA，用于反映报警系统的误报率；
报警状态转移到报警线上状态的概率PAm，用于反映报警系统的漏报率；
各个状态的平均转移时间包括：
报警线下状态转移到报警状态的平均时间TkA，用于反映操作人员对即将到来的报警的
反应时间；
报警状态转移到报警线上状态的平均时间TAm，用于反映操作人员对已发生的报警的反
应时间。
8.根据权利要求7所述的单变量报警系统的报警线设计方法，其特征在于，所述S4的具
体实现包括：
计算状态n-1单调不减的转移到状态n的概率P(n-1)n，利用P(n-1)n通过乘法定理得到状态
k单调不减的转移到状态A的概率，得到报警线下状态转移到报警状态的概率PkA；
计算状态i单调不减的转移到状态i+1的平均转移时间Ti(i+1)，利用Ti(i+1)通过加法定理
计算状态k单调不减的转移到状态A的平均转移时间，得到报警线下状态转移到报警状态的
平均时间TkA；
将状态转移图截断，只保留从状态A到状态m的部分，将状态m定义为吸收态，则状态A到
状态m的转移概率就等于吸收态对状态A的吸收概率，得到报警状态转移到报警线上状态的
概率PAm；
将状态转移图截断，只保留从状态A到状态m的部分，将状态m定义为吸收态，则状态A到
状态m的平均转移时间就等于吸收态对状态A的平均转移时间，报警状态转移到报警线上状
态的平均时间TAm。
9.根据权利要求8所述的单变量报警系统的报警线设计方法，其特征在于，S5的具体实
现包括：利用报警概率图中的统计量构建判决函数，各个状态信号对应的判决函数的值等
于该状态对应的转移概率和标准化的平均转移时间乘以他们各自的权重之和，将报警线设
置在判决函数取得最大值处；
转移概率和平均转移时间对判决函数的权重的取值均在0到1之间，且二者之和为1。
10.一种单变量报警系统的报警线设计系统，其特征在于，包括：
状态划分模块，用于获取过程信号并进行状态划分，得到一系列离散的状态；
状态平滑模块，用于采用平滑法对划分后的状态进行平滑处理，使过程信号只在相邻
状态间转移；
转移矩阵估计模块，用于利用古典概型的方法从经过平滑处理的过程信号中估计一步
转移矩阵；
报警概率图计算模块，用于利用一步转移矩阵计算报警概率图中的统计量；
报警线设置模块，用于利用报警概率图中的统计量构建判决函数，计算各个状态信号
对应的判决函数值，将报警线设置在判决函数取得最大值处。

一种单变量报警系统的报警线设计方法及系统

技术领域

本发明涉及工业报警系统管理技术领域，尤其涉及一种单变量报警系统的报警线
设计方法及系统。

背景技术

报警是一种以视觉和听觉的方式提醒操作人员该工业过程出现了故障或者异常，
一个有效的报警系统对生产过程的安全性和操作的有效性至关重要。因此，针对报警系统
的研究受到了工业界和学术界越来越广泛的关注。在报警系统所有可设置的参数中，报警
线是最重要的一个。由于报警线的设计不正确，报警系统会产生大量的误报警，会产生“狼
来了”的效应，从而使操作人员对该报警系统产生质疑。同时，报警系统也会产生大量的漏
报警，从而降低了该报警系统的有效性，对生产过程带来了很大的安全隐患。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对现有技术的不足，提供一种单变量报警系统的
报警线设计方法及系统。本发明可以有效降低报警系统的误报率、漏报率、以及使得操作人
员有更多的时间对即将到来或者已经发生的报警做出反应。

本发明解决上述技术问题的技术方案如下：一种单变量报警系统的报警线设计方
法，包括如下步骤：

S1，获取过程信号并进行状态划分，得到一系列离散的状态；

S2，采用平滑法对划分后的状态进行平滑处理，使过程信号只在相邻状态间转移；

S3，利用古典概型的方法从经过平滑处理的过程信号中估计一步转移矩阵；

S4，利用一步转移矩阵计算报警概率图中的统计量；

S5，利用报警概率图中的统计量构建判决函数，计算各个状态信号对应的判决函
数值，将报警线设置在判决函数取得最大值处。

为实现上述发明目的，本发明还提供一种单变量报警系统的报警线设计系统，包
括：

状态划分模块，用于获取过程信号并进行状态划分，得到一系列离散的状态；

状态平滑模块，用于采用平滑法对划分后的状态进行平滑处理，使过程信号只在
相邻状态间转移；

转移矩阵估计模块，用于利用古典概型的方法从经过平滑处理的过程信号中估计
一步转移矩阵；

报警概率图计算模块，用于利用一步转移矩阵计算报警概率图中的统计量；

报警线设置模块，用于利用报警概率图中的统计量构建判决函数，计算各个状态
信号对应的判决函数值，将报警线设置在判决函数取得最大值处。

本发明的有益效果是：过程信号离散化以后，可以将其看作是一个马尔科夫链，本
发明基于马尔科夫链，挖掘过程信号的历史数据中的统计规律，得到一步转移矩阵，进而得
到报警概率图；通过报警概率图的统计量构建判决函数，将报警线设置在判决函数取得最
大值处。本发明有益于对已有的报警线进行优化，也可以设计最优的报警线，使得报警系统
的误报率和漏报率较小以及操作人员的反应时间较大。

附图说明

图1为本发明实施例所述单变量报警系统的报警线设计方法流程图；

图2为本发明实施例中状态4的转移概率和平均转移时间示意图；

图3为本发明实施例各个状态的转移概率和平均转移时间示意图；

图4为本发明实施例中从状态A到状态m的状态转移图；

图5为本发明实施例中从状态i到状态i+1的状态转移图；

图6为本发明实施例报警概率图；

图7为本发明实施例所述单变量报警系统的报警线设计系统框图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的原理和特征进行描述，所举实例只用于解释本发明，并
非用于限定本发明的范围。

如图1所示，一种单变量报警系统的报警线设计方法，包括如下步骤：

S1，获取过程信号并进行状态划分，得到一系列离散的状态。

具体地，S1的具体实现包括：将过程信号的原始样本数据x(t)按照从小到大的顺
序进行排序得到顺序样本数据xo(t)，根据顺序样本数据xo(t)确定区间间隔，根据原始样本
数据所处的区间确定原始样本数据所处的状态，得到一系列离散的状态，其中每个状态包
括Z个样本数，Z为正整数。

设置报警系统的报警线为xtp；报警线下的样本数为L1,；报警线上的样本数为L2。
假设每个状态包含的样本数为z，报警线下的状态数为N1，报警线上的状态数为N2。将过程信
号的原始样本数据x(t)按照从小到大的顺序进行排序得到顺序样本数据xo(t)，那么状态
划分的步骤为：

S11，当k＝1到N1-1时，如果xo(1)<x(t)<xo(L1-(N1-1)z)，就令x(t)处于状态1，即xs
(t)＝1；如果xo(L1-(N1-k)z+1)<x(t)<xo(L1-(N1-1-k)z)，就令x(t)处于状态k+1,即xs(t)＝
k+1，其中xs(t)表示状态信号；

S12，当k＝1到N2-1时，如果xo((k-1)z+1+L1)<x(t)<xo(kz+L1)，就令x(t)处于状态k
+N1，即xs(t)＝k+N1；如果xo((N2-1)z+1+L1)<x(t)<xo(L1+L2)，就令x(t)处于状态N1+N2，即xs
(t)＝N1+N2。

之所以采用这样的方式进行状态划分，是因为考虑到当数据比较密集时，状态对
应的区间间隔就可以宽一些，否则就窄一些。采取这种方式来进行状态划分时，我们首先要
确定报警线下的状态数N1和报警线上的状态数N2。N1和N2的值可以通过每个状态包含的样
本数z来计算，即N1＝[L1/z]，N2＝[L2/z]([·]表示取整函数)，其中z的值可以通过仿真实
验来确定。因为这是一种基于数据的方法，那么当每个状态包含的样本较少时，计算出来的
结果就很可能不可靠。仿真数据通过如下的一阶自回归模型产生：

x(t)＝4.5+0.1x(t-1)+a(t)，

其中a(t)表示均值为0，方差为4的白噪声。样本被分成10个状态，也就是说，当x
(t)＜1时，xs(t)＝1；当1＜x(t)＜2时，xs(t)＝2；…，当8＜x(t)＜9时，xs(t)＝9；x(t)＞9
时，xs(t)＝10。不失一般性，我们选取状态8作为报警状态。通过调整样本容量，使每个状态
包含的样本数都大于z，然后通过推导得到的报警概率图中四个统计量的解析表达式计算
报警概率图中四个统计量的值。不失一般性，我们选取状态4来进行仿真实验。针对每个z，
重复100次实验，计算状态4的转移概率和平均转移时间。状态4的转移概率和平均转移时间
如图2所示。由图2可知，当每个状态包含的样本数不小于600时，通过解析表达式计算得到
的转移概率和平均转移时间的值都在他们均值的±5％范围内波动。该仿真实验只考虑了
状态4的情况，接下来我们考虑包含所有状态的情况。仿真数据的产生、状态划分、报警状态
均与之前相同。通过调整样本容量，使每个状态包含的样本数均大于600。重复100次实验，
每次实验都通过推导得到的解析表达式计算各个状态的转移概率和平均转移时间，结果如
图3所示。由图3可知，100次仿真实验得到的报警概率图的值都很接近。也就是说，当各个状
态包含的样本数z不小于600时，利用解析表达式计算得到的转移概率和平均转移时间的值
是统计可靠的。我们利用这个结论来确定N1和N2的值，可以得到N1＝[L1/600]，N2＝[L2/
600]。由报警线下状态的转移概率的计算公式可知(下文会具体推导各个状态的转移概率
和平均转移时间的解析表达式)，它近似为一个指数函数，因此当N1的值很大时，状态1的转
移概率就会非常小。在统计学中，当一个事件发生的概率小于0.001时，它就可以视为一个
小概率事件，也就是说这个事件基本上不会发生。因此，我们要对N1的值进行修正，具体步
骤如下：

①、设N1的初始值为n0，并给定一个转移概率阈值γ；

②、计算状态1到报警状态A的转移概率P1A，如果它的值小于γ，就令N1＝N1-1；

③、重复步骤1和2直到P1A的值大于γ。

S2，采用平滑法对划分后的状态进行平滑处理，使过程信号只在相邻状态间转移。

当t时刻过程信号处于状态i,如果t+1时刻过程信号的取值等于i，则令令平滑后
的过程信号处于状态i；

当t时刻过程信号处于状态i,如果t+1时刻过程信号的取值大于i，则令令平滑后
的过程信号处于状态i+1；

当t时刻过程信号处于状态i,如果t+1时刻过程信号的取值小于i，则令令平滑后
的过程信号处于状态i-1。

也就是说当xs(t)＝i并且xs(t+1)＝i时，就令xs(t+1)＝i；

当xs(t)＝i并且xs(t+1)＞i时，就令xs(t+1)＝i+1；

当xs(t)＝i并且xs(t+1)＜i，就令xs(t+1)＝i-1。

xs(t)表示状态信号。

S3，利用古典概型的方法从经过平滑处理的过程信号中估计一步转移矩阵。

所述一步转移矩阵中第i行第j列元素的值为状态i出现且下一时刻状态j出现的
次数与状态i出现的次数的比值。

利用古典概型从历史数据中估计一步转移矩阵。将过程信号离散化以后，可以将
其看作是一个马尔科夫链，马尔科夫链可以由它的一步状态转移概率来刻画，一步状态转
移概率的定义如下：

$p_{ij}^{\left(1\right)}=\mathrm{Pr}\&lsqb;x_s(t+1)=j|x_s\left(t\right)=i\&rsqb;,i,j\&Element;U---\left(1\right)$

其中U表示马尔科夫链的状态空间，xs(t)表示过程信号对应的状态信号。如果矩
阵P(1)的第i行第j列元素等于那么就将矩阵P(1)称为一步转移矩阵。一步转移矩阵可
以通过古典概型从过程信号的历史数据中估计得到，也就是说，如果状态j出现一次，我们
就令S1的值加1；状态i每出现一次，我们就令S2的值加1，则

${\hat{p}}_{ij}^{\left(1\right)}=\frac{S_2}{S_1}$

上述公式为一步转移矩阵的第i行第j列的元素的计算公式。P(1)表示的是一个矩
阵，pij(1)表示的是矩阵P(1)的第i行第j列元素。

S4，利用一步转移矩阵计算报警概率图中的统计量。

所述报警概率图具体包括各个状态的转移概率和各个状态的平均转移时间；各个
状态的转移概率的值越大，则越容易从报警线下状态转移到报警状态或者从报警状态转移
到报警线上状态；各个状态的平均转移时间的值越大，则操作人员能有更多的时间对已发
生或者即将到来的报警做出反应。

各个状态的转移概率包括：报警线下状态转移到报警状态的概率PkA，用于反映报
警系统的误报率；报警状态转移到报警线上状态的概率PAm，用于反映报警系统的漏报率。各
个状态的平均转移时间包括：报警线下状态转移到报警状态的平均时间TkA，用于反映操作
人员对即将到来的报警的反应时间；报警状态转移到报警线上状态的平均时间TAm，用于反
映操作人员对已发生的报警的反应时间。

本发明给出了从报警线下状态转移到报警状态的概率和平均时间，以及从报警状
态转移到报警线上状态的概率和平均时间。通过本发明有益于对已有的报警线进行优化，
也可以设计最优的报警线，使得报警系统的误报率和漏报率较小以及操作人员的反应时间
较大。

计算状态n-1单调不减的转移到状态n的概率P(n-1)n，利用P(n-1)n通过乘法定理得到
状态k单调不减的转移到状态A的概率，得到报警线下状态转移到报警状态的概率PkA；

计算状态i单调不减的转移到状态i+1的平均转移时间Ti(i+1)，利用Ti(i+1)通过加法
定理计算状态k单调不减的转移到状态A的平均转移时间，得到报警线下状态转移到报警状
态的平均时间TkA；其中，n和i均是泛指某个状态。本发明实施例中均用n表示或者均用i表示
都可以。

将状态转移图截断，只保留从状态A到状态m的部分，将状态m定义为吸收态，则状
态A到状态m的转移概率就等于吸收态对状态A的吸收概率，得到报警状态转移到报警线上
状态的概率PAm；

将状态转移图截断，只保留从状态A到状态m的部分，将状态m定义为吸收态，则状
态A到状态m的平均转移时间就等于吸收态对状态A的平均转移时间，报警状态转移到报警
线上状态的平均时间TAm。

报警概率图中四个统计量的解析表达式可以通过一步转移矩阵P(1)推导得到，具
体细节介绍如下：

S41，PkA的解析表达式的推导。PkA表示报警线下状态k单调不减地转移到报警状态
A的概率。在计算PkA之前，我们先计算P(n-1)n，也就是从状态(n-1)单调不减地转移到状态n的
概率。假设从状态(n-1)转移到状态n需要l步，由于从状态(n-1)转移到状态n的过程是单调
不减的，所以前l-1步都是从状态(n-1)转移到状态(n-1)，最后一步才是从状态(n-1)转移
到状态n，因此通过l步从状态(n-1)单调不减的转移到状态n的概率的计算公式为：

$P_{(n-1)n}^{\left(l\right)}={\&lsqb;p_{(n-1)(n-1)}^{\left(1\right)}\&rsqb;}^{l-1}{p}_{(n-1)n}^{\left(1\right)}$

实际上，从状态(n-1)单调不减的转移到状态n所有可能的步数的集合为[1,∞)，
因此从状态(n-1)单调不减的转移到状态n的概率为：

$\begin{array}{c}{P}_{(n-1)n}=\underset{l=1}{\overset{\mathrm{\&infin;}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_{(n-1)n}^{\left(l\right)}\\ =\underset{l=1}{\overset{\mathrm{\&infin;}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\&lsqb;P_{(n-1)(n-1)}^{\left(1\right)}\&rsqb;}^{l-1}{P}_{(n-1)n}^{\left(1\right)}\\ =\frac{p_{(n-1)n}^{\left(1\right)}}{1-p_{(n-1)(n-1)}^{\left(1\right)}}\end{array}$

通过乘法定理，我们可以得到：

$P_{kA}=\underset{n=k}{\overset{A-1}{\&Pi;}}\frac{p_{n(n+1)}^{\left(1\right)}}{1-p_{nn}^{\left(1\right)}}---\left(2\right)$

表示从状态n到状态n+1的一步转移概率，表示从状态n到状态n的一步转
移概率。

S42，PAm的解析表达式的推导。PAm表示从报警状态A转移到报警线上状态m的概率，
该转移过程不需要是单调不减的。图4表示从状态A到状态m的状态转移图。

马尔科夫链的状态可以被分成两类，分别称为暂态和常返态。如果一个状态经过
有限步的转移可以回到状态自身，就称其为常返态，如果一个状态不是常返态，就称其为暂
态。特别的，如果一个状态满足下式，就称其为吸收态。

设ai表示从状态i到吸收态s的转移概率，那么ai可以通过以下方程计算得到：

其中U表示给定的状态转移图的状态空间。对于图2所示的状态转移图，状态m被定
义为吸收态，则方程(3)可以被改写为：

转移概率PAm即为从状态A转移到吸收态m的概率，因此

PAm＝aA＝(C-1B)2 (4)

aA表示从状态A到吸收态的转移概率，C是方程组(3)的系数矩阵，B是方程组(3)的
常数项组成的矩阵。

S43，TkA的解析表达式的推导。TkA表示从报警线下状态k单调不减的转移到报警状
态A的平均时间。令Ti(i+1)表示从状态i单调不减的转移到状态i+1的平均时间，从状态i到状
态i+1的状态转移图如图5所示。

在图5中，状态i+1被定义为吸收态。假设μi表示从状态i转移到吸收态的平均时
间，它可以通过下式计算：

其中U表示给定的状态转移图对应的状态空间。对于图3所示的状态转移图，方程
(5)可以改写成：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&mu;}}_{i-1}=0,\\ {\mathrm{\&mu;}}_i=1+p_{i(i-1)}^{\left(1\right)}{\mathrm{\&mu;}}_{(i-1)}+p_{i(i-1)}^{\left(1\right)}{\mathrm{\&mu;}}_{(i-1)}+p_{i(i+1)}^{\left(1\right)}{\mathrm{\&mu;}}_{(i+1)},\\ {\mathrm{\&mu;}}_{i+1}=0.\end{array}\right.---\left(6\right)$

通过方程(6)，Ti(i+1)可以通过下式计算得到

$T_{i(i+1)}={\mathrm{\&mu;}}_i=\frac{1}{1-p_{ii}^{\left(1\right)}}.$

通过加法定理可得，从状态k单调不减的转移到状态A的平均时间为

$T_{kA}=\underset{i=k}{\overset{A-1}{\&Sigma;}}\frac{1}{1-p_{ii}^{\left(1\right)}}.---\left(7\right)$

表示从状态i到状态i的一步转移概率。

S44，TAm的解析表达式的推导，TAm表示从报警状态A转移到报警线上状态m的平均
时间。假设μA表示从状态A首次转移到状态m的平均时间，则μA只与图2所示的状态转移图中
状态A到状态m这一部分有关。与μA不同的是，TAm表示报警发生后，过程首次转移到状态m的
平均时间。因此，TAm的计算还与报警状态的前一个状态，即状态A-1有关。我们先来推导μA和
TAm之间的关系，然后通过μA来计算TAm。设fAm(l)表示从状态A通过l步首次转移到状态m的概
率。在报警已发生的条件下，从状态A通过l步首次转移到状态m的概率可以定义为fAm(l)
P(A-1)A(1)。因为P(A-1)A(1)＝1(报警发生了)，所以

$f_{(A-1)m}^{(l+1)}=f_{Am}^{\left(l\right)}{p}_{(A-1)A}^{\left(1\right)}---\left(8\right)$

在等式(8)两边同乘以l得到

$(l+1)f_{(A-1)m}^{(l+1)}-f_{(A-1)m}^{(l+1)}={\mathrm{lf}}_{Am}^{\left(l\right)}{p}_{(A-1)A}^{\left(1\right)}.---\left(9\right)$

将等式(9)两边从0到正无穷求和可得

$\underset{l=0}{\overset{\mathrm{\&infin;}}{\&Sigma;}}(l+1)f_{(A-1)m}^{(l+1)}-\underset{l=0}{\overset{\mathrm{\&infin;}}{\&Sigma;}}{f}_{(A-1)m}^{(l+1)}=\underset{l=0}{\overset{\mathrm{\&infin;}}{\&Sigma;}}{\mathrm{lf}}_{Am}^{\left(l\right)}.---\left(10\right)$

在等式(10)中，第二项表示从状态A-1迟早转移到状态m的概率，由于状态m是吸收
态，所以它的值为1。第一项表示报警发生后，从报警状态首次转移到状态m的平均时间，第
三项表示从报警状态A首次转移到状态m的平均时间，所以

TAm＝μA+1. (11)

μA表示从状态A首次转移到状态m的平均时间，TAm表示报警发生后，从状态A转移到
状态m的平均时间。μA可以通过(5)计算得到，对于图2所示的报警概率图，(5)可以改写为：

因此，μA的计算公式为

μA＝(C-1B')2. (12)

结合等式(11)和等式(12)可以得到

TAm＝μA+1＝(C-1B')2+1. (13)

S5，利用报警概率图中的统计量构建判决函数，计算各个状态信号对应的判决函
数值，将报警线设置在判决函数取得最大值处。

具体地，利用报警概率图中的统计量构建判决函数，各个状态信号对应的判决函
数的值等于该状态对应的转移概率和标准化的平均转移时间乘以他们各自的权重之和，将
报警线设置在判决函数取得最大值处；转移概率和平均转移时间对判决函数的权重的取值
均在0到1之间，且二者之和为1。

报警概率图中四个统计量的解析表达式确定了以后，我们通过判决函数来设计报
警线，判决函数定义如下：

$F(P_i,T_i;x_{tp})={\mathrm{\&alpha;P}}_i+(1-\mathrm{\&alpha;})\frac{T_i}{\max \left(T_i\right)}.$

其中Pi和Ti分别表示状态i的转移概率和平均转移时间，α表示Pi对判决函数的权
重，α的取值在0到1之间。α的默认值为0.5，也就是说Pi和Ti对判决函数的取值同样重要。Pi
的值越大，就说明从报警线下状态i越容易转移到报警状态或者从报警状态越容易转移到
报警线上状态i。Ti的值越大，操作人员就有更多的时间对已发生或者即将到来的报警做出
反应。所以，最优的报警线应该使判决函数取得最大值，即

$x_{tp}^{\left(opt\right)}=\arg \max F(P_i,T_i;x_{tp})\mathrm{..}$

我们通过一个实例来具体说明如何通过报警概率图来设计报警线。如图6所示的
报警概率图，状态8为报警状态。表1列出了各个状态对应的转移概率、平均转移时间和判决
函数的取值。

表1各个状态对应的转移概率、平均转移时间和判决函数的取值。

状态
1
2
3
4
5
6
7
8
9
19
Pi
0.06
0.06
0.02
0.49
0.98
0.98
0.98
1
0.14
0.02
Ti
12.32
11.32
10.18
8.58
6.08
4.08
1.98
0
2.41
2.83
F(Pi,Ti；xtp)
0.53
0.49
0.51
0.59
0.73
0.65
0.57
0.50
0.17
0.12

由表1可知，判决函数在状态5取得最大值，也就是说我们应该将报警线设在状态
5，而不应该是设在状态8。观察图4所示的报警概率图可知，当过程信号到达状态5时，他就
会以接近1的概率继续上升直至达到报警状态，所以将报警线设在状态5不会增加误报率。
而相对于状态8而言，将报警线设在状态5，操作人员有更多的时间对报警做出反应。因此，
通过报警概率图和判决函数将报警线设在状态5是合理的。

如图7所示，本发明还提供一种单变量报警系统的报警线设计系统，包括：

状态划分模块，用于获取过程信号并进行状态划分，得到一系列离散的状态；

状态平滑模块，用于采用平滑法对划分后的状态进行平滑处理，使过程信号只在
相邻状态间转移；

转移矩阵估计模块，用于利用古典概型的方法从经过平滑处理的过程信号中估计
一步转移矩阵；

报警概率图计算模块，用于利用一步转移矩阵计算报警概率图中的统计量；

报警线设置模块，用于利用报警概率图中的统计量构建判决函数，计算各个状态
信号对应的判决函数值，将报警线设置在判决函数取得最大值处。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和
原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。