基于非线性鲁棒的电液伺服系统自适应位置控制器的实现方法技术领域
本发明涉及一种控制器，具体涉及一种基于非线性鲁棒的电液伺服系统
自适应位置控制器，属于机电液伺服控制领域。
背景技术
由于电液伺服系统具有功率重量比大、动态响应快、压力、流量可控性
好以及可柔性传送动力等突出优点，而被广泛应用于航空、航天、汽车、船
舶、和工程机械等领域。随着这些领域的发展和技术水平的不断进步，迫切
需要高性能的电液伺服系统作为支撑，传统基于线性化方法得到的控制性能
逐渐不能满足系统需求。电液伺服系统的非线性，如压力动态非线性、伺服
阀压力流量非线性、摩擦非线性等，逐渐成为限制电液伺服系统性能提升的
瓶颈因素。除此之外，电液伺服系统还存在诸多参数不确定性(如负载惯量、
泄漏系数、液压油弹性模量等)和不确定性非线性(如未建模的摩擦动态、
外干扰等)。这些不确定性的存在成为发展先进控制策略的主要障碍。
通常情况下，自适应控制能有效的估计未知常数参数并能提高其跟踪精
度，然而当系统遭受大的未建模扰动时可能会不稳定。鲁棒控制器可以有效
提高整个闭环系统对未建模扰动的鲁棒性，但是不适用于建模充分只存在参
数不确定性的系统。总的来看，自适应控制和鲁棒控制有它们各自的优缺点。
美国普渡大学的Bin Yao教授团队针对非线性系统所存在的所有不确定性，
提出了一种数学论证严格的非线性自适应鲁棒控制(ARC)理论框架。其团队
主要基于系统非线性数学模型设计非线性控制器，针对参数不确定性，设计
恰当的在线参数估计策略，以提高系统的跟踪性能；对可能发生的外干扰等
不确定性非线性，通过强增益非线性反馈控制予以抑制。由于强增益非线性
反馈控制往往导致较强的保守性(即高增益反馈)，在工程使用中有一定困难，
并且系统中潜在的大的未建模扰动可能会使系统的跟踪性能变差。为了补偿
在ARC设计时的扰动，有学者设计了基于扩张状态观测器的ARC设计方法，
并从理论和实验结果上验证了所提出的控制器能使系统具有良好的跟踪性
能。然而，以上所提出的非线性设计方法仅仅只能确保存在各种建模不确定
性系统的跟踪误差有界，这样的性能可能会难以满足实际高精度场合的需求。
对此有学者提出了基于误差符号积分鲁棒的自适应控制(ARISE)方法对存在
匹配性扰动的系统能确保其跟踪误差在稳态时趋于零，然而这种控制器设计
方法相对复杂并且只能保证整个系统半全局渐近稳定,同时在复杂环境中并
不能保证参数估计值始终在一个有界的区域内。如何解决以上存在的问题仍
是目前研究的焦点。
总结来说，现有电液伺服系统的控制策略的不足之处主要有以下几点：
1.简化系统非线性模型为线性或忽略系统建模不确定性。简化系统非线
性模型为线性难以准确描述实际的电液伺服系统，会使基于电液伺服系统线
性模型所设计的控制器的控制精度降低。电液伺服系统的建模不确定性主要
包括未建模摩擦和未建模扰动等。存在于电液伺服系统中的摩擦会引起极限
环振荡、粘滑运动等不利因素，对系统的高精度运动控制产生不利的影响。
同时，实际的电液伺服系统不可避免的会受到外界负载的干扰，若忽略这些
建模不确定性将会降低系统的跟踪性能；
2.传统的自适应鲁棒控制(ARC)存在高增益反馈现象并且对同时存在参
数不确定性和不确定性非线性的电液伺服系统系统只能保证跟踪误差有界
(即保证跟踪误差在一个有界的范围内，并不能确保跟踪误差趋于零)。传
统自适应鲁棒控制存在高增益反馈的问题，也就是通过增加反馈增益来减小
跟踪误差。然而高增益反馈易受测量噪声影响且可能激发系统的高频动态进
而降低系统的跟踪性能，甚至导致系统不稳定；并且对同时存在参数不确定
性和不确定性非线性的系统只能确保系统的跟踪误差有界，在实际高精度需
求的场合这样的性能可能会难以满足要求。
3.基于误差符号积分鲁棒的自适应控制器(ARISE)只能保证整个系统半
全局渐近稳定同时在复杂环境中并不能保证参数估计值始终在一个有界的区
域内。
发明内容
本发明为解决现有电液伺服系统控制中简化系统非线性模型为线性或忽
略系统建模不确定性、传统的自适应鲁棒控制存在高增益反馈现象以及对同
时存在参数不确定性和不确定性非线性的系统只能保证跟踪误差有界，同时
基于误差符号积分鲁棒的自适应控制器只能保证整个系统半全局渐近稳定以
及在复杂环境中并不能保证参数估计值始终在一个有界的区域内的问题，提
出一种基于非线性鲁棒的电液伺服系统自适应位置控制器。
本发明为解决上述问题采取的技术方案是：本发明的设计方法具体步骤
如下：
步骤一、建立电液位置伺服系统的非线性数学模型，本发明以液压马达
为例，根据牛顿第二定律可得系统的运动学方程为：
公式(1)中J为负载的转动惯量；y为负载的角位移；PL＝P1-P2为液压
马达的负载压力(P1、P2分别为液压马达两腔的油压)；Dm为液压马达的排
量；B为粘性摩擦系数(本发明为了提高控制器设计的可理解性，侧重验证
控制器对未建模动态的鲁棒性，从而简化控制器的补偿部分，因而采用线性
摩擦模型)；f(t)为未建模的摩擦以及外干扰等不确定性项。
液压马达的负载压力动态方程为：
公式(2)中Vt、βe、Ct、QL分别为液压马达控制腔的总容积、液压油
有效弹性模量、液压马达内泄漏系数及伺服阀负载流量，QL＝(Q1+Q2)/2(其
中Q1为由伺服阀流进液压马达进油腔的液压流量，Q2为由伺服阀流出液压马
达回油腔的液压流量)；q(t)为建模误差。
伺服阀负载流量QL与阀芯位移xv之间的关系为：
公式(3)中(Cd为流量系数；ω为阀芯面积梯度；ρ为油液
密度)；Ps为与回油压力Pr相关的供油压力；sign(·)定义为：
假设伺服阀响应速度非常快即伺服阀频宽远远高于系统频宽，则阀芯位
移xv与控制输入u近似为比例环节，即xv＝kiu(ki为正增益)，那么(3)式可
以写为：
公式(5)中kt＝kqki为与控制输入u相关的总的流量增益。
为使控制器的设计更具广泛性，针对液压马达伺服系统，由式(1)(2)
及(5)表征的非线性模型，定义系统状态变量为则
系统非线性模型的状态空间形式为：
公式(6)中U、d(t)表示为:
由公式(6)可以看出，为了控制器设计方便，我们定义了一个新的变量
U来替代系统的实际控制输入u，由于系统中安装了压力传感器，
(Ps-sign(u)PL)1/2的值可以实时获得，那么实际的控制输入u可以通过
U/(Ps-sign(u)PL)1/2来计算，因此在以下的控制器设计过程中主要致力于通过
设计U来处理液压马达系统中的参数不确定性和未建模扰动。
由于系统的参数J、B、βe、kt以及Ct可能存在大的变化从而使系统遭受
参数不确定性，因此，为了简化(6)式，定义不确定参数集
其中以及
状态空间等式(6)可以重新写为：
假设1：期望跟踪的位置指令x1d＝yd(t)∈C5并且有界；实际液压马达伺服
系统在正常工作条件下，PL有界，即0＜PL＜Ps。
假设2：不确定性参数集满足：
公式(9)中均已知。
假设3：公式(8)中的时变不确定性d(t)足够光滑并且满足：
公式(10)中δ1、δ2为已知正常数。
由假设1可以推出(Ps-sign(u)PL)1/2总是有界，因此，若设计出有界的U，
那么实际的控制输入u将会有界。在以下的控制器设计中，假设3给未建模
扰动施加了一些约束使得此非线性模型(8)对于实际的液压马达系统来说显
得有点保守。虽然摩擦一般被建模为不连续函数，然而在基于模型的控制器
设计时仍采用一些连续的摩擦模型，这是因为没有哪个执行器可以产生不连
续的力来补偿不连续摩擦力的影响，因此非线性模型(8)符合实际的液压马
达系统。
步骤二、基于不连续投影算子设计自适应律对液压马达系统中的不确定
性参数进行估计。定义分别为的估计值及估计误差(即
定义不连续投影函数为：
公式(11)中i＝1,2,3，·i为矢量·的第i个元素，对于两个矢量之间的运
算“＜”为矢量中相应元素之间的运算。
自适应律设计为：
公式(12)中Γ为对角自适应律矩
阵且Γ＞0，σ为自适应函数。对于任意自适应函数σ，运用投影函数(12)
能保证：
步骤三、针对公式(6)中的状态方程，设计基于非线性鲁棒的电液伺服
系统自适应位置控制器，其具体步骤如下：
步骤三(一)、定义一组类似开关函数的变量为：
公式(14)中z1为系统的跟踪误差，k1、k2、k3为正反馈增益。我们在
公式(14)中引入了一个辅助误差信号z4来获得额外的设计自由。由于滤波
的跟踪误差z4依赖于加速度的时间微分从而使得它不可测，因此在进行控
制器设计时并不用误差信号z4的值，这里仅仅用来协助以下的控制器设计。
步骤三(二)、设计自适应函数以及控制器输入U，使得液压马达伺服
系统具有全局渐近跟踪性能。
根据公式(14)，辅助误差信号z4可以整理为：
基于系统模型(6)，我们可以得到：
根据公式(16)的结构，自适应函数以及基于模型的控制器可以设计为：
其中kr为正反馈增益；Ua为可调节的基于模型的前馈控制律，通过参数
自适应来获得提高的模型补偿；Us为线性鲁棒控制律用来保证系统名义模型
的稳定性；Un为基于辅助误差符号z4积分的非线性鲁棒控制律，用来处理时
变的扰动，Un将在以下的设计步骤中给出。
从(17)可以看出，自适应函数σ依赖于误差信号z4，但是通过对σ进
行积分可得：
由(18)可以看出，参数估计中并不需要用到不可测信号z4。基于(18)
对(12)进行积分可得：
由式(19)可以看出，参数的估计值并没有直接用到误差信号z4，而
是运用了z4的符号sign(z4)，为了计算sign(z4)，定义函数h(t)为：
由于z4(t)＝limτ→0(h(t)-h(t-τ))/τ，τ可以选取为采样时间，根据(19)可
知我们只需要知道z4的符号sign(z4)即可，因此我们只需要知道h(t)增加还是
减小就可以获得sign(z4)，其中sign(z4)＝sign(h(t)-h(t-τ))，这样看来，获得
sign(z4)就比获得z4容易多了。
把(17)带入到(16)中，我们可以得到：
根据公式(21)可以设计鲁棒控制律为：
其中β＞0。
把(22)带入(21)，并对公式(21)进行微分可以得到：
把公式(12)中的参数自适应律带入到(23)中，我们可以得到：
步骤四、分析基于控制器(17)作用下的液压马达位置伺服系统的稳定
性：
引理1：定义辅助函数L(t)为：
若增益β满足以下条件：
那么以下定义的函数P(t)总是正的：
引理1的证明：基于(14)中z4的定义，对(25)关于时间进行积分得：
对(28)进一步整理可得：
由此可得等式(29)的上界为：
因此，若增益β满足(26)，那么(27)中定义的函数P(t)总是正的。
理论1：通过自适应律(19)、选取增益β满足等式(26)以及选取足
够大的反馈增益k1、k2、k3、kr，使得(31)中定义的矩阵Λ正定，那么提出
的控制律(17)能够确保液压马达伺服系统在闭环情况下所有信号有界，并
且获得全局渐近跟踪性能，即当t→∞时z1→0。Λ定义为：
其中：
公式(32)中max{·}代表·的最大值。
理论1的证明：选取Lyapunov方程为：
对公式(33)关于时间进行求导可得：
把公式(14)、(24)和(27)代入公式(34)中，并经过转换可得：
根据公式(31)中定义的正定矩阵Λ，对公式(35)进一步转换可得：
公式(36)中z定义为z＝[z1,z2,z3,z4]T，λmin(Λ)为矩阵Λ的最小特征值。
根据公式(36)可以得到V∈L∞以及W∈L2，同时信号z以及参数估计值
有界。因此，可以得出x以及控制输入U有界。通过假设1可以得到实际控
制输入u有界。基于z1、z2、z3以及z4的动态，可以得到W的时间导数有界，
因此W一致连续。从而，根据Barbalat引理可以得到当t→∞时W→0，理论
1即得到证明。
上述稳定性分析的证明过程见具体实施方式相关部分。
步骤五、确定液压马达伺服系统中不确定性参数集的范围即及
的值并使确定数据采样时间τ，同时调节对角自适应律
矩阵Γ的值，并调节参数β、k1、k2、k3以及kr，从而来确保整个系统稳定，
并使液压马达位置伺服系统的位置输出y(t)准确地跟踪期望的位置指令yd。
上述参数的选取见具体实施方式相关部分。
本发明的有益效果是：本发明选取液压马达位置伺服系统作为研究对
象，建立了系统的非线性模型，同时考虑了系统的参数不确定性以及外干扰
等不确定性；针对系统的参数不确定性基于不连续投影算子所设计的参数自
适应律能有效的对未知常值参数进行估计并使估计值收敛，同时能保证参数
的估计值始终在已知的区域内；基于误差符号积分所设计的控制器针对系统
存在的外部干扰以及未建模动态等不确定性具有良好的鲁棒性；本发明所设
计的基于非线性鲁棒的电液伺服系统自适应位置控制器为全状态反馈控制
器，并能使电液伺服系统的位置输出具有全局渐近跟踪性能，即当时间趋于
无穷时跟踪误差为零；本发明所设计的控制器的控制电压连续，更利于在工
程实际中应用。仿真结果验证了其有效性。
附图说明
图1是本发明液压马达位置控制系统图。
图2是基于非线性鲁棒的电液伺服系统自适应位置控制器原理示意及流
程图。
图3是液压马达位置伺服系统的参数的真值及其估计值随时间变化的曲
线。
图4是本发明所设计的控制器(图中以IARISE标识)和传统PID控制
器(图中以PID标识)分别作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线。
图5是液压马达位置伺服系统的实际控制输入u随时间变化的曲线。
具体实施方式
结合图1至图2说明本实施方式，本实施方式所述一种基于非线性鲁棒
的电液伺服系统自适应位置控制器的设计方法具体步骤如下：
步骤一、建立电液位置伺服系统的非线性数学模型，本发明以液压马达
(如图1所示)为例，根据牛顿第二定律可得系统的运动学方程为：
公式(1)中J为负载的转动惯量；y为负载的角位移；PL＝P1-P2为液压
马达的负载压力(P1、P2分别为液压马达两腔的油压)；Dm为液压马达的排
量；B为粘性摩擦系数(本发明为了提高控制器设计的可理解性，侧重验证
控制器对未建模动态的鲁棒性，从而简化控制器的补偿部分，因而采用线性
摩擦模型)；f(t)为未建模的摩擦以及外干扰等不确定性项。
液压马达的负载压力动态方程为：
公式(2)中Vt、βe、Ct、QL分别为液压马达控制腔的总容积、液压油
有效弹性模量、液压马达内泄漏系数及伺服阀负载流量，QL＝(Q1+Q2)/2(其
中Q1为由伺服阀流进液压马达进油腔的液压流量，Q2为由伺服阀流出液压马
达回油腔的液压流量)；q(t)为建模误差。
伺服阀负载流量QL与阀芯位移xv之间的关系为：
公式(3)中(Cd为流量系数；ω为阀芯面积梯度；ρ为油液
密度)；Ps为与回油压力Pr相关的供油压力；sign(·)定义为：
假设伺服阀响应速度非常快即伺服阀频宽远远高于系统频宽，则阀芯位
移xv与控制输入u近似为比例环节，即xv＝kiu(ki为正增益)，那么(3)式可
以写为：
公式(5)中kt＝kqki为与控制输入u相关的总的流量增益。
为使控制器的设计更具广泛性，针对液压马达伺服系统，由式(1)(2)
及(5)表征的非线性模型，定义系统状态变量为则
系统非线性模型的状态空间形式为：
公式(6)中U、d(t)表示为:
由公式(6)可以看出，为了控制器设计方便，我们定义了一个新的变量
U来替代系统的实际控制输入u，由于系统中安装了压力传感器，
(Ps-sign(u)PL)1/2的值可以实时获得，那么实际的控制输入u可以通过
U/(Ps-sign(u)PL)1/2来计算，因此在以下的控制器设计过程中主要致力于通过
设计U来处理液压马达系统中的参数不确定性和未建模扰动。
由于系统的参数J、B、βe、kt以及Ct可能存在大的变化从而使系统遭受
参数不确定性，因此，为了简化(6)式，定义不确定参数集
其中以及
状态空间等式(6)可以重新写为：
假设1：期望跟踪的位置指令x1d＝yd(t)∈C5并且有界；实际液压马达伺服
系统在正常工作条件下，PL有界，即0＜PL＜Ps。
假设2：不确定性参数集满足：
公式(9)中均已知。
假设3：公式(8)中的时变不确定性d(t)足够光滑并且满足：
公式(10)中δ1、δ2为已知正常数。
由假设1可以推出(Ps-sign(u)PL)1/2总是有界，因此，若设计出有界的U，
那么实际的控制输入u将会有界。在以下的控制器设计中，假设3给未建模
扰动施加了一些约束使得此非线性模型(8)对于实际的液压马达系统来说显
得有点保守。虽然摩擦一般被建模为不连续函数，然而在基于模型的控制器
设计时仍采用一些连续的摩擦模型，这是因为没有哪个执行器可以产生不连
续的力来补偿不连续摩擦力的影响，因此非线性模型(8)符合实际的液压马
达系统。
步骤二、基于不连续投影算子设计自适应律对液压马达系统中的不确定
性参数进行估计。定义分别为的估计值及估计误差(即
定义不连续投影函数为：
公式(11)中i＝1,2,3，·i为矢量·的第i个元素，对于两个矢量之间的运
算“＜”为矢量中相应元素之间的运算。
自适应律设计为：
公式(12)中Γ为对角自适应律矩
阵且Γ＞0，σ为自适应函数。对于任意自适应函数σ，运用投影函数(12)
能保证：
步骤三、针对公式(6)中的状态方程，设计基于非线性鲁棒的电液伺服
系统自适应位置控制器，其具体步骤如下：
步骤三(一)、定义一组类似开关函数的变量为：
公式(14)中z1为系统的跟踪误差，k1、k2、k3为正反馈增益。我们在
公式(14)中引入了一个辅助误差信号z4来获得额外的设计自由。由于滤波
的跟踪误差z4依赖于加速度的时间微分从而使得它不可测，因此在进行控
制器设计时并不用误差信号z4的值，这里仅仅用来协助以下的控制器设计。
步骤三(二)、设计自适应函数以及控制器输入U，使得液压马达伺服
系统具有全局渐近跟踪性能。
根据公式(14)，辅助误差信号z4可以整理为：
基于系统模型(6)，我们可以得到：
根据公式(16)的结构，自适应函数以及基于模型的控制器可以设计为：
其中kr为正反馈增益；Ua为可调节的基于模型的前馈控制律，通过参数
自适应来获得提高的模型补偿；Us为线性鲁棒控制律用来保证系统名义模型
的稳定性；Un为基于辅助误差符号z4积分的非线性鲁棒控制律，用来处理时
变的扰动，Un将在以下的设计步骤中给出。
从(17)可以看出，自适应函数σ依赖于误差信号z4，但是通过对σ进
行积分可得：
由(18)可以看出，参数估计中并不需要用到不可测信号z4。基于(18)
对(12)进行积分可得：
由式(19)可以看出，参数的估计值并没有直接用到误差信号z4，而
是运用了z4的符号sign(z4)，为了计算sign(z4)，定义函数h(t)为：
由于z4(t)＝limτ→0(h(t)-h(t-τ))/τ，τ可以选取为采样时间，根据(19)可
知我们只需要知道z4的符号sign(z4)即可，因此我们只需要知道h(t)增加还是
减小就可以获得sign(z4)，其中sign(z4)＝sign(h(t)-h(t-τ))，这样看来，获得
sign(z4)就比获得z4容易多了。
把(17)带入到(16)中，我们可以得到：
根据公式(21)可以设计鲁棒控制律为：
其中β＞0。
把(22)带入(21)，并对公式(21)进行微分可以得到：
把公式(12)中的参数自适应律带入到(23)中，我们可以得到：
步骤四、确定液压马达伺服系统中不确定性参数集的范围即及
的值并使确定数据采样时间τ(τ＞0)，同时调节对角
自适应律矩阵Γ(Γ＞0)的值，并调节参数β(β＞0)、k1(k1＞0)、k2(k2＞0)、
k3(k3＞0)以及kr(kr＞0)，从而来确保整个系统稳定，并使液压马达位置
伺服系统的位置输出y(t)准确地跟踪期望的位置指令yd。
本公开中还分析基于控制器(17)作用下的液压马达位置伺服系统的稳
定性，具体如下：
引理1：定义辅助函数L(t)为：
若增益β满足以下条件：
那么以下定义的函数P(t)总是正的：
引理1的证明：基于(14)中z4的定义，对(25)关于时间进行积分得：
对(28)进一步整理可得：
由此可得等式(29)的上界为：
因此，若增益β满足(26)，那么(27)中定义的函数P(t)总是正的。
理论1：通过自适应律(19)、选取增益β满足等式(26)以及选取足
够大的反馈增益k1、k2、k3、kr，使得(31)中定义的矩阵Λ正定，那么提出
的控制律(17)能够确保液压马达伺服系统在闭环情况下所有信号有界，并
且获得全局渐近跟踪性能，即当t→∞时z1→0。Λ定义为：
其中：
公式(32)中max{·}代表·的最大值。
理论1的证明：选取Lyapunov方程为：
对公式(33)关于时间进行求导可得：
把公式(14)、(24)和(27)代入公式(34)中，并经过转换可得：
对公式(35)进一步整理可以得到：
基于所设计的自适应律(12)以及性质(13)中的(P2)，对公式(36)
进行整理可以得到：
根据公式(31)中定义的正定矩阵Λ，对公式(37)进一步转换可得：
公式(38)中z定义为z＝[z1,z2,z3,z4]T，λmin(Λ)为矩阵Λ的最小特征值。
根据公式(38)可以得到V∈L∞以及W∈L2，同时信号z以及参数估计值
有界。因此，可以得出x以及控制输入U有界。通过假设1可以得到实际控
制输入u有界。基于z1、z2、z3以及z4的动态，可以得到W的时间导数有界，
因此W一致连续。从而，根据Barbalat引理可以得到当t→∞时W→0，理论
1即得到证明。
基于非线性鲁棒的电液伺服系统自适应位置控制器原理示意及流程如图
2所示。
实施例：
电液位置伺服系统参数为：负载惯量J＝0.5kg·m2；液压马达排量
Dm＝6.0×10-5m3/rad；总泄漏系数Ct＝1×10-12m3/s/Pa；供油压力Ps＝1×107Pa；粘
性摩擦系数B＝90N·m·s/rad；液压油弹性模量βe＝7×108Pa；伺服阀总流量增益
kt＝1.2×10-8m3/s/V/Pa-1/2；控制腔总容积Vt＝1.15×10-4m3；不确定参数集的范围
为:时变外干扰为f(t)＝4sin(πt)N·m；假设建模
误差q(t)为0；系统期望跟踪的位置指令为曲线x1d(t)＝sin(t)[1-exp(-t3)]rad。
本发明所设计的控制器的参数选取为:τ＝1ms、k1＝800、
k2＝300、k3＝50、kr＝10以及β＝0.5、，Γ＝diag{1.2×10-11,15,0.024}；PID控制器
参数选取为：kP＝300,kI＝100,kD＝0。
对比仿真结果：
图3是液压马达位置伺服系统的参数的真值及其估计值随时间变化的曲
线，从曲线可以看出所设计的基于不连续投影算子的自适应律能使系统的参数
估计值收敛到其真值，从而能够准确地将系统的未知常数参数估计出来。
控制器作用效果：图4是本发明所设计的控制器(图中以IARISE标识)
和传统PID控制器(图中以PID标识)分别作用下系统的位置跟踪误差随时间
变化的曲线，从图中可以看出，本发明所设计的控制器作用下系统的跟踪误差
明显小于PID控制器作用下系统的跟踪误差，从而使其跟踪性能获得很大的提
高。
图5是液压马达位置伺服系统的控制输入u随时间变化的曲线，从图中可
以看出，本发明所得到的控制输入信号连续，有利于在工程实际中应用。