一种故障率为浴盆曲线的寿命分布方法.pdf

一种故障率为浴盆曲线的寿命分布方法，它有三大步骤：一、产品故障数据的收集；二、参数η的确定；三、使用极大似然估计确定参数λ、α和β。本发明用于描述产品使用过程中的故障率变化和寿命分布情况，本分布高度符合产品故障率变化的浴盆曲线理论，既适用于完整浴盆曲线，也适用于各种特殊浴盆曲线情况；本分布同时既适用于有极限寿命的产品，也适用于没有极限寿命的产品；本分布具有极强的可调性，既能在部分参数取特殊值时等价于指数分布、威布尔分布，也能通过调整参数取值十分接近正态分布、对数正态分布等；本分布对大部分产品都适用，不同产品之间仅分布参数不同，为进一步的寿命和可靠性分析提供了便利。

权利要求书
1.  一种故障率为浴盆曲线的寿命分布方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：
步骤一：产品故障数据的收集，具体需要收集的数据包括试验样本量n、各试件故障时间t1,t2,...,tn；
步骤二：参数η的确定，其计算公式为：
η=tn+tn-tn-knk---(5)]]>
式中n为样本量、tn为第n个故障试件的工作时间，k为tn时的同时故障数；此“同时故障”是指定期对产品进行故障检测时多个产品在同一次检测中被发现故障；
步骤三：使用极大似然估计确定参数λ、α和β，在已确定η的情况下，令x＝t/η，则本分布的概率密度函数
f(t)=λ·xα-1η·(1-x)β+1·[(β-a)·x+α]·exp[-λ·xα(1-x)β]]]>
对似然函数L=Πi=1nf(ti)]]>取对数：
lnL=n·lnλ+(α-1)·Σi=1nlnxi-(β+1)·Σi=1nln(1-xi)+Σi=1nln[(β-α)xi+α]-λ·Σi=1nxiα(1-xi)β-n·lnη---(6)]]>
进而求偏导：
∂lnL∂λ=nλ-Σi=1nxia(1-xi)β∂lnL∂α=Σi=1n[1-xi(β-α)xi+α+lnxi-λxiα·lnxi(1-xi)β]∂lnL∂β=Σi=1n[xi(β-a)xi+α-ln(1-xi)+λxiα·ln(1-xi)(1-xi)β---(7)]]>
使各偏导函数取值为零的参数组合即为本分布的极大似然估计结果。

说明书一种故障率为浴盆曲线的寿命分布方法
技术领域
本发明是一种故障率为浴盆曲线的寿命分布方法，属于数理统计领域，该方法适用但不局限于可靠性数据分析领域。
背景技术
大量产品使用过程中的故障率变化可分为三个时期：故障率逐渐降低的早期故障期、故障率基本稳定的偶然故障期、故障率逐渐增加的损耗故障期，对应的故障率函数形似浴盆，故称为浴盆曲线。部分产品存在一到两个故障时期不明显甚至缺失的情况，对应的故障率函数可认为是特殊浴盆曲线。在常见的寿命分布中：指数分布的故障率恒定；威布尔分布根据形状参数的取值，故障率可为递减、恒定、递增之一；正态分布故障率递增。显然这些寿命分布的故障率函数都属于特殊浴盆曲线，并不能够描述完整的浴盆曲线。
另一方面常见寿命分布的时间区间都是无限的，如指数分布和威布尔分布的时间区间是(0,+∞)，而正态分布的时间区间是(-∞,+∞)。但考虑实际产品的寿命情况，产品在规定条件下完成规定功能，受环境应力、工作条件的影响，几乎都会发生某种损耗或退化，这些损耗或退化累积到一定程度就会发生故障，即大部分产品的寿命是有极限的，只是时间有长有短。在产品的耗损故障期，故障率在有限的时间内增加到无穷大时达到产品的极限寿命。
发明内容
本发明的目的是提出一种故障率为浴盆曲线的寿命分布方法，用于描述产品使用过程中的故障率变化和寿命分布的情况。本方法之分布的可靠度函数为：
R(t)=exp[-λ·(t/η)α(1-t/η)β]---(1)]]>
概率密度函数为：
f(t)=-R′(t)=λ(t/η)α-1η(1+t/η)β+1·[(β-α)·t/η+α]·exp[-λ·(t/η)α(1+t/η)β]---(2)]]>
故障率函数为：
h(t)=f(t)R(t)=λ(t/η)α-1η(1+t/η)β+1·[(β-α)·t/η+α]---(3)]]>
各参数的取值范围为α＞0,β≥0,η＞0,λ＞0。本方法之分布根据参数的取值不同，既适用于完整浴盆曲线，也适用于特殊浴盆曲线；既可以是无限的时间区间，也可以是有限的时间区间。具体地讲，参数λ为故障率函数的乘积因子，改变λ的取值故障率曲线形状不变而故障率轴刻度发生改变。η为区间参数，改变η的取值各曲线的形状不会发生改变，只是时间轴刻度改变。形状参数α和β的取值共同决定了故障率曲线的形状，当β＞0时本分布为有限区间(0,η)上的分布，当β＝0为无限区间上的分布，α和β不同取值下分布的意义如下表所示：
表1不同参数取值下分布的意义

其中“完整浴盆曲线”达到最低故障率的时间t由下式决定：
t=η-ηα2α=βt=η(β-α)·(αββ-α+1-α)α≠β---(4)]]>
仅由表1所示，似乎本方法之分布并不适用于“仅无偶然故障”和“仅无耗损故障”两种情况。但事实上是无法区分“仅无偶然故障”与“完整浴盆曲线”的，因为故障率各阶段之间并没有明确的界线，如故障率最低处即可认为是“完整浴盆曲线”的偶然故障期，也可认为是“仅无偶然故障”浴盆曲线的早期故障与耗损故障的过渡阶段；而本方法之分布在α＜1,β→0时的故障率曲线是趋近于“仅无耗损故障”情况的，如图1为 λ＝η＝1时不同α和β的取值下的10条故障率曲线(各曲线的形状参数α和β取值见表2)，其中9号曲线即可近似认为是“仅无耗损故障”的情况。
表2不同的参数组合

综上所述，本发明一种故障率为浴盆曲线的寿命分布方法，该方法具体步骤如下：
步骤一：产品故障数据的收集，具体需要收集的数据包括试验样本量n、各试件故障时间t1,t2,...,tn；
步骤二：参数η的确定，其计算公式为：
η=tn+tn-tn-knk---(5)]]>
式中n为样本量、tn为第n个故障试件的工作时间，k为tn时的同时故障数。此“同时故障”是指定期对产品进行故障检测时多个产品在同一次检测中被发现故障；
步骤三：使用极大似然估计确定参数λ、α和β，在已确定η的情况下，令x＝t/η，则本分布的概率密度函数
f(t)=λ·xα-1η·(1-x)β+1·[(β-α)·x+α]·exp[-λ·xα(1-x)β]]]>
对似然函数取对数：
lnL=n·lnλ+(α-1)·Σi=1nlnxi-(β+1)·Σi=1nln(1-xi)+Σi=1nln[(β-α)xi+α]-λ·Σi=1nxiα(1-xi)β-n·lnη---(6)]]>
进而求偏导：
∂lnL∂λ=nλ-Σi=1nxiα(1-xi)β∂lnL∂α=Σi=1n[1-xi(β-α)xi+α+lnxi-λ·xiα·lnxi(1-xi)β]∂lnL∂β=Σi=1n[xi(β-α)xi+α-ln(1-xi)+λ·xiα·ln(1-xi)(1-xi)β]---(7)]]>
使各偏导函数取值为零的参数组合即为本分布的极大似然估计结果。
本发明的优点在于：
(1)本方法之分布高度符合产品故障率变化的浴盆曲线理论，既适用于完整浴盆曲线，也适用于各种特殊浴盆曲线情况；
(2)本方法之分布既适用于有极限寿命的产品，也适用于没有极限寿命的产品；
(3)本方法之分布能够在部分参数取特殊值时等价于指数分布和威布尔分布，也能通过调整参数取值十分接近正态分布、对数正态分布等。
(4)本方法之分布对绝大部分产品都适用，因此可省去分布模型的选择，不同产品间仅反映到本分布不同的参数取值上，这也为进一步的寿命和可靠性分析于比较提供了便利。
附图说明
图1是本发明的不同的参数下的故障率曲线图；
图2是本发明实施例的估计结果可靠度曲线图；
图3是本发明实施例的估计结果故障率函数图；
图4是本发明流程框图。
具体实施方式
下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。
本发明是一种故障率为浴盆曲线的寿命分布，流程如图4所示，包括以下几个步骤：
步骤一：产品故障数据的收集，具体需要收集的数据包括试验样本量n、各试件故障时间t1,t2,...,tn；
步骤二：参数η的确定，参数η即表征产品的极限寿命，其取值应当与所选取的分布无关，而应该直接根据试件的故障情况估计η，可使用以下公式确定η：
η=tn+tn-tn-knk---(8)]]>
式中n为样本量、tn为第n个故障试件的正常工作时间，k为tn时的同时故障数。此“同时故障”是指定期对产品进行故障检测时多个产品在同一次检测中被发现故障。
步骤三：使用极大似然估计确定参数λ、α和β，在已确定η的情况下，令x＝t/η，则本分布的概率密度函数
f(t)=λ·xα-1η·(1-x)β+1·[(β-α)·x+α]·exp[-λ·xα(1-x)β]]]>
对似然函数取对数：
lnL=n·lnλ+(α-1)·Σi=1nlnxi-(β+1)·Σi=1nln(1-xi)+Σi=1nln[(β-α)xi+α]-λ·Σi=1nxiα(1-xi)β-n·lnη---(9)]]>
进而求偏导：
∂lnL∂λ=nλ-Σi=1nxiα(1-xi)β∂lnL∂α=Σi=1n[1-xi(β-α)xi+α+lnxi-λ·xiα·lnxi(1-xi)β]∂lnL∂β=Σi=1n[xi(β-α)xi+α-ln(1-xi)+λ·xiα·ln(1-xi)(1-xi)β]---(10)]]>
使各偏导函数取值为零的参数组合即为本分布的极大似然估计结果。
实施例：
以某产品的寿命试验数据为例，介绍此方法的应用。
步骤一：产品故障数据的收集，根据某产品的寿命试验数据，试验样本量为50，各试件的故障时间(单位为天(d))分别为：0.1,0.2,1,1,1,1,1,2,3,6,7,11,12,18,18,18,18,18,21,32,36,40,45,46,47,50,55,60,63,63,67,67,67,67,72,75,79,82,82,83,84,84,84,85,85,85,85,85,86,86。
步骤二：参数η的确定：
η=86+86-8550×2=86.1]]>
步骤三：使用极大似然估计确定参数λ、α和β，将故障数据和η值带入式(10)中各偏导函数等于零构成的方程组，使用matlab提供的数值方法求解得：
α＝0.5384,β＝0.1967,λ＝0.8499
将各参数取值带入式(1)即得产品的可靠度函数，该可靠度函数与原数据的可靠度经验函数比较如图2所示，该产品的故障率函数如图3所示，图1是本发明的不同的参数下的故障率曲线图。