密铺平面系统.pdf

一种密铺平面系统，其是以一等腰三角形为基本元素，依拿破仑定律以其各边长延伸一等边三角形建构成三个四边形图案，而可依此三个四边形图案建构一个相等对角与对边等长的六边形，该六边形各边分别延伸拼接另一六边形而建构成一密铺平面，以供各六边形中的四边形图案组具有相同的数量所构成者。假若平移该六边形当中两个非对称四边形图案之一，就可以形成一个对称等边八边形、一个和先前完全对称的六边形和一个两不等交互边长对称八边形，最后回到原来的六边形。此四次“平移”可以建构成一个“平移环”。这些图案组可以藉地砖的形式呈现，应用在平铺地面或墙壁，诸如游戏拼图，包括电视和计算机游戏，图案用来建造迷宫或其它用途。

1.  一种密铺平面系统，其特征在于：其以一等腰三角形为基本元素，依拿破仑定律以其各边长延伸一等边三角形建构成三种四边形图案，而可依此三种四边形图案的多数建构一个密铺平面系统。

2.  根据权利要求1所述的密铺平面系统，其中该等腰三角形的三个边分别为第一边(A)、第二边(B)及第三边(C)，令第二边与第三边相等，该三个边(A、B、C)分别具有一对应角：第一角(a)、第二角(b)及第三角(c)，该三个四边形图案组分别形成一笔尖四边形(AABB)，角度为：60°、比第二角(b)增加60°、第一角(a)、比第二角(b)增加60°、一左影四边形(BBBA)，角度为：60°、比第一角(a)增加60°、第二角(b)、比第二角(b)增加60°、一右影四边形(BBAB)，角度为：60°、比第二角(b)增加60°、第二角(b)、比第一角(a)增加60°。

3.  根据权利要求2所述的密铺平面系统，其中第一角(a)为36°，第二角(b)与第三角(c)相等，均为72°；该笔尖四边形边长比例为0.618∶0.618∶1∶1；内角分别为60°、132°、36°、132°、该左影四边形边长比例为1∶1∶1∶0.618；内角分别为60°、96°、72°、132°、该右影四边形边长比例为1∶1∶0.618∶1；内角分别为60°、132°、72°、96°，以形成该六边形边长比例为0.618∶1∶1∶0.618∶1∶1；内角分别为96°、132°、132°、96°、132°、132°。

4.  根据权利要求3所述的密铺平面系统，其中该三个四边形图案组的左影与右影分别与笔尖的同一边的两个边结合，以形成两个相等对角与对边等长的鼓形六边形。

5.  根据权利要求4所述的密铺平面系统，其中该密铺平面系统系以一鼓形六边形笔尖为中心，左影与右影平移与笔尖的对边结合，以形成两个对称的八边形，分别称为三叶形与雁形八边形。

6.  根据权利要求5所述的密铺平面系统，其中该三叶形八边形密铺平面边长比例为1∶1∶1∶1∶1∶1∶1∶1；内角为36°、264°、60°、96°、204°、96°、60°、264°；该雁形八边形密铺平面瓷砖边长比例为0.168∶1∶0.168∶1∶0.168∶1∶0.168∶1；内角为60°、228°、72°、132°、156°、132°、72°、228°。

7.  根据权利要求2所述的密铺平面系统，其中第一边(a)为72°，第二边(b)与第三边(c)相等，均为54°；该笔尖四边形边长比例为1.176∶1.176∶1∶1；内角为60°、114°、72°、114°、该左影四边形边长比例为1∶1∶1∶1.176；内角为60°、132°、54°、114°、该右影四边形边长比例为1∶1∶1.176∶1；内角为60°、114°、54°、132°，以形成该六边形边长比例为1.176∶1∶1∶1.176∶1∶1；内角为132°、114°、114°、132°、114°、114°。

8.  根据权利要求3所述的密铺平面系统，其中该三个四边形图案组的左影与右影分别与笔尖的同一边的两个边结合，以形成两个相等对角与对边等长的鼓形六边形。

9.  根据权利要求4所述的密铺平面系统，其中该密铺平面系统系以一鼓形六边形笔尖为中心，左影与右影平移与笔尖的对边结合，以形成两个对称的八边形，分别称为三叶形与雁形八边形。

10.  根据权利要求9所述的密铺平面系统，其中三叶形八边形密铺平面瓷砖边长比例为1∶1∶1∶1∶1∶1∶1∶1；内角为72°、228°、60°、132°、168°、132°、60°、228°；雁形八边形密铺平面瓷砖边长比例为1.176∶1∶1.176∶1∶1.176∶1∶1.176∶1；内角为60°、246°、54°、114°、192°、114°、54°、246°。

11.  根据权利要求2所述的密铺平面系统，其中第一角(a)为108°，第二边(b)与第三边(c)相等，均为36°；该笔尖四边形边长比例为1.618∶1.618∶1∶1；内角为60°、96°、108°、96°、该左影四边形边长比例为1∶1∶1∶1.618；内角为60°、168°、36°、96°、该右影四边形边长比例为1∶1∶1.618∶1；内角为60°、96°、36°、168°，以形成该六边形边长比例为1.618∶1∶1∶1.618∶1∶1；内角为168°、96°、96°、168°、96°、96°。

12.  根据权利要求11所述的密铺平面系统，其中该三个四边形图案组的左影与右影分别与笔尖的同一边的两个边结合，以形成两个相等对角与对边等长的鼓形六边形。

13.  根据权利要求12所述的密铺平面系统，其中该密铺平面系统系以一鼓形六边形笔尖为中心，左影与右影平移与笔尖的对边结合，以形成两个对称的八边形，分别称为三叶形与雁形八边形。

14.  根据权利要求13所述的密铺平面系统，其中三叶形八边形密铺平面瓷砖边长比例为1∶1∶1∶1∶1∶1∶1∶1；内角为108°、192°、60°、168°、132°、168°、60°、192°；雁形八边形密铺平面瓷砖边长比例为1.618∶1∶1.618∶1∶1.618∶1∶1.618∶1；内角为60°、264°、36°、96°、228°、96°、36°、264°。

15.  根据权利要求2所述的密铺平面系统，其中第一边(a)为144°，第二边(b)与第三边(c)相等，均为18°；该笔尖四边形边长比例为1.902∶1.902∶1∶1，内角为60°、78°、144°、78°、该左影四边形边长比例为1∶1∶1∶1.902；内角为60°、204°、18°、78°、该右影四边形边长比例为1∶1∶1.902∶1；内角为60°、78°、18°、204°，以形成该六边形边长比例为1.902∶1∶1∶1.902∶1∶1；内角为204°、78°、78°、204°、78°、78°。

16.  根据权利要求15所述的密铺平面系统，其中该三个四边形图案组的左影与右影分别与笔尖的同一边的两个边结合，以形成两个相等对角与对边等长的鼓形六边形。

17.  根据权利要求16所述的密铺平面系统，其中该密铺平面系统系以一鼓形六边形笔尖为中心，左影与右影平移与笔尖的对边结合，以形成两个对称的八边形，分别称为三叶形与雁形八边形。

18.  根据权利要求17所述的密铺平面系统，其中三叶形八边形密铺平面瓷砖边长比例为1∶1∶1∶1∶1∶1∶1∶1；内角为144°、156°、60°、204°、96°、204°、60°、156°；雁形八边形密铺平面瓷砖边长比例为1.902∶1∶1.902∶1∶1.902∶1∶1.902∶1；内角为60°、282°、18°、78°、264°、78°、18°、282°。

密铺平面系统
技术领域
本发明涉及一种密铺平面系统，尤其涉及一种通过等腰三角形各边依拿破仑定律延伸一三角形平面而形成三个四边形图案组，三个四边形图案组连接形成六边形，六边形的各边连接六边形而建构成的密铺平面系统。
背景技术
一般平面图形的密铺除了被广泛应用于瓷砖密铺，在数学教学上也又应用，比如可以通过探索多边形密铺条件的过程，进一步发展学生推理能力及审美力，体会平面图形在现实生活中的应用。
密铺平面系统可分为周期性及非周期性，周期性密铺平面定义为：在平面上，平移一小区块的图案而无反射和旋转，周期性密铺平面系统所拼铺出的平面图案为单一无变化性，例如正六边形瓷砖，或如视觉美感较丰富的拿破仑密铺平面瓷砖系统，或详见http//www.drking.plus.com/hexagons/tess/tess.html。请参考图25至图26，由拿破仑定律(Napoleon’s Theorem)推演出来的密铺平面图案所建构成的瓷砖系统，杰姆罗伊(Jim Loy)于2003年为拿破仑定律下了定义：在任意三角形5的每个边远离任意三角形一侧划一个等腰三角形51、52、53，然后连接这三个等腰三角形的中心，而形成另外一个等腰三角形，这个等腰三角形就是外拿破仑三角形6(outer Napoleon triangle)；另在与任意三角形5相同的任意三角形7的每个边与任意三角形7可重合的一侧划一个等腰三角形71、72、73，然后连接这三个等腰三角形的中心，形成另外一个等腰三角形，这个等腰三角形就是内拿破仑三角形8(innerNapoleon triangle)，值得一提的是，外拿破仑三角形6的面积减去内拿破仑三角形8的面积等于原来任意三角形5的面积。
此外，“相等对角与对边等长六边形”也是可以密铺的，假如a+60°、b+60°、c+60°均为锐角，也就是ABCABC为凸状六边形。根据雷因哈特(K.Reinhardt)1918年在法兰克福大学获得博士的论文发现，凸状六边形仅有三种可以是密铺平面。三个凸状六边形其中的一个条件：相邻三个角的和是a+60°+b+60°+c+60°＝360°和边长A的对边D，边长也是A，因此我们可以证明一个“相等对角与对边等长凸状六边形”是可以密铺平面的。(Gardner1988)
再者，假如a+60°、b+60°、c+60°其中之一角为钝角，也就是ABCABC是为凹状六边形，则不能使用雷因哈特定理证明。但是我们可以使用“对角线中点旋转”的原理来证明，因为“相等对角与对边等长六边形”的任何对角线所分割的两个四边形，即是沿着“对角线中点旋转”的影子，所以它是密铺平面的。总之，不论是凹状或是凸状，任何“相等对角与对边等长六边形”是可以密铺的。
图27所示即为拿破仑密铺平面瓷砖系统，其具有周期性的每一图案组由三个不同大小的等边三角形及三个相同的三角形所构成；对制造者而言，每一个六边形组中各三角形的数量比例不同，在生产库存的管理上相当的不便利，且密铺时亦更是复杂而费时。
发明内容
本发明的主要目的，在于解决上述的问题而提供一种密铺平面系统，其系以一等腰三角形，该等腰三角形各边与等边三角形连接而形成三个四边形图案组，该三个四边形图案组连接形成对角相等与对边等长的一六边形，该六边形各边分别延伸连接六边形而建构成一密铺平面，其中一组六边形组具有三个三个四边形连接构成，且每一个六边形组中四边形的数量各为一个。对制造者而言，大幅增进生产库存的管理的便利性，且密铺平面系统拼接时亦更是简单而省时。
为达前述目的，本发明其系其系以一等腰三角形为基本元素，依拿破仑定律以其各边长延伸一等边三角形建构成三个四边形图案，而可依此三个四边形图案建构一个相等对角与对边等长的六边形，该六边形各边分别延伸拼接另一六边形而建构成一密铺平面。
本发明的上述及其它目的与优点，不难从下述所选用实施例的详细说明与附图中，获得深入了解。
附图说明
图1是黄金分割与拿破仑密铺平面磁砖系统的LLS等腰三角形。
图2是黄金分割与拿破仑密铺平面磁砖系统的SSL等腰三角形。
图3是本发明的笔尖、左影及右影三个四边形图案组第一实施例。
图4是依图3的三个四边形图案组建构成的密铺平面系统之一，且以周期间隔空白图案的方式设置。
图5是依图3的三个四边形图案组建构成的密铺平面系统之二的斜鼓形六边形，且以周期间隔空白图案的方式设置。
图6是依图3的三个四边形经四次的平移所建构成的平移环关系图。
图7是依图3的三个四边形图案组建构成的密铺平面系统之三，且以周期间隔空白图案的方式设置。
图8是依图3的三个四边形图案组建构成的密铺平面系统之四，且以周期间隔空白图案的方式设置。
图9是依图3的三个四边形图案组建构成的非周期性密铺平面系统。
图10是本发明的笔尖、左影及右影三个四边形图案组第二实施例。
图11是依图10的三个四边形图案组建构成的密铺平面系统之一，且以周期间隔空白图案的方式设置。
图12是依图10的三个四边形图案组建构成的密铺平面系统之二，且以周期间隔空白图案的方式设置。
图13是依图10的三个四边形图案组建构成的密铺平面系统之三，且以周期间隔空白图案的方式设置。
图14是依图10的三个四边形图案组建构成的密铺平面系统之四，且以周期间隔空白图案的方式设置。
图15是本发明的笔尖、左影及右影三个四边形图案组第三实施例。
图16是依图15的三个四边形图案组建构成的密铺平面系统之一，且以周期间隔空白图案的方式设置。
图17是依图15的三个四边形图案组建构成的密铺平面系统之二，且以周期间隔空白图案的方式设置。
图18是依图15的三个四边形图案组建构成的密铺平面系统之三，且以周期间隔空白图案的方式设置。
图19是依图15的三个四边形图案组建构成的密铺平面系统之四，且以周期间隔空白图案的方式设置。
图20是本发明的笔尖、左影及右影三个四边形图案组第四实施例。
图21是依图20的三个四边形图案组建构成的密铺平面系统之一，且以周期间隔空白图案的方式设置。
图22是依图20的三个四边形图案组建构成的密铺平面系统之二，且以周期间隔空白图案的方式设置。
图23是依图20的三个四边形图案组建构成的密铺平面系统之三，且以周期间隔空白图案的方式设置。
图24是依图20的三个四边形图案组建构成的密铺平面系统之四，且以周期间隔空白图案的方式设置。
图25是习知外拿破仑三角形。
图26是习知内拿破仑三角形。
图27是习用拿破仑密铺平面磁砖系统示意图。
图28是夹角α等腰三角形建置成的三组四边形、六边与八边对称拿破仑密铺瓷砖图形。
具体实施方式
本发明主要结合黄金分割律与拿破仑定律推演出的密铺平面组成单元，其中，黄金分割经常被应用在密铺平面图案设计，在罗马的奥古斯都时代，名建筑师维特鲁维亚(Marcus Vitruvius Pollio)制定了“黄金分割律”，指出：一个平面若能分为和谐并且具有美感的几块面积，其中最小块与最大块的比例应当等于最大块与整个的比例。
图1至图2所示，其是以黄金分割为比例所构成的两个等腰三角形，其长段和短段分别称为L和S，即形成了LLS和SSL两个等腰三角形了。
此两个等腰三角形的夹角分别是36°的1倍与3倍，经过简单计算得到：等腰三角形LLS的三个边边长比例和内角分别是(1∶1∶0.618)、(72°、72°、36°)；而另一个等腰三角形SSL的三个边边长比例和内角分别是(1∶1∶1.618)、(36°、36°、108°)；并且，再加入夹角分别是36°的2倍(即72°)与4倍(即144°)的两个等腰三角形，经过简单计算得到三个边边长比例和内角分别是(1∶1∶0.851)、(54°、54°、72°)和(1∶1∶0.526)、(18°、18°、144°)。
请参阅图3至图9，依据前述四个等腰三角形的其中之任一，以拿破仑定律自其各边长延伸一等边三角形建构成三个四边形图案，而可依此三个四边形图案建构一个“相等对角与对边等长的六边形”，兹详述如下。
如图3所示，三个四边形图案组11、12、13均是以一黄金分割的等腰三角形1为基本元素，其中，该等腰三角形的三个边分别为A、B及C，令B＝C，该三个边A、B及C分别具有一对应角a、b及c，该三个四边形图案组11、12、13分别形成一笔尖(pen head)四边形AABB(60°、b+60°、a、b+60°)、一左影(left shadow)四边形BBBA(60°、a+60°、b、b+60°)、一右影(right shadow)四边形BBAB(60°、b+60°、b、a+60°)。
图3至图9所示，是夹角36°等腰三角形建构成的笔尖、左影、右影三个四边形图案组，在实施例中a＝36°，b＝c＝72°，为本发明的密铺平面系统第一实施例，该四边形图案组的边长比计算公式为：边长＝2×sin(18°)＝0.618；该笔尖四边形11其边长比例(0.618∶0.618∶1∶1)和内角(60°、132°、36°、132°)、该左影四边形12边长比例(1∶1∶1∶0.618)和内角(60°、96°、72°、132°)、该右影四边形13边长比例(1∶1∶0.618∶1)和内角(60°、132°、72°、96°)。
如图3所示，当将以上三个四边形图案组的左影与右影分别与笔尖的同一边的两个边结合，可以形成两个相等对角与对边等长的六边形10，称它为鼓形(drum)，该鼓形六边形10边长比例(0.618∶1∶1∶0.618∶1∶1)和内角(96°、132°、132°、96°、132°、132°)。
图4至图5所示是鼓形与斜鼓形六边形密铺平面瓷砖，因为鼓形是一个“相等对角与对边等长的六边形”，根据上述黄金分割律与拿破仑定律推论，鼓形六边形是可以密铺的。黄金分割比例与黄金分割角分别在鼓形六边形的边长与内角表现出来，首先是鼓形六边形的边长比例0.618∶1，它也可以改写成1∶0.618，这是边长为黄金分割比例的鼓形六边形，至于鼓形六边形的两种内角96°与132°分别是60°和36°与72°的和。
图6所示，假若以鼓形六边形笔尖为中心，左影与右影“平移”与笔尖的对边结合，可以形成两个对称的八边形，分别称它们为三叶形(threeleaves)与雁形(goose)，然后分别再次地将右影与左影“平移”与笔尖的对边结合，均回归到斜鼓形(skew drum)六边形，此四次“平移”所建构的关系图称为“平移环(translation circle)”。
图7至图8所示是三叶形与雁形八边形密铺平面瓷砖，因为鼓形六边形是密铺平面，经过“平移”的动作，三叶形与雁形也是密铺平面。三叶形八边形密铺平面瓷砖边长比例(1∶1∶1∶1∶1∶1∶1∶1)和内角(36°、264°、60°、96°、204°、96°、60°、264°)。雁形八边形密铺平面瓷砖边长比例(0.168∶1∶0.168∶1∶0.168∶1∶0.168∶1)和内角(60°、228°、72°、132°、156°、132°、72°、228°)。
值得一提的是，三叶形八边形与雁形八边形的边长与内角与黄金分割比例与黄金分割角有密切的关系。其中，等边对称的凹状八边形的三叶形的八个边的边长均等，其内角由黄金分割角带头，然后除了60°，就是三种内角264°、96°、204°，分别是120°和144°、60°和36°、60°和144°的和。如鼓形六边形一样，雁形八边形的边长是黄金分割比例0.618∶1，即1∶1.618，亦称为“黄金比例的雁形八边形”，其内角由60°带头，然后除了黄金分割角72°，就是三种内角228°、132°、156°，分别是120°和36°+72°、60°和72°、120°和36°的和。
上述三个四边形图案建构的密铺平面系统，其中，该鼓形六边形、三叶形与雁形八边形中任一个的六边形或八边形所含的笔尖四边形11、左影四边形12、右影四边形13数量各为一个；对制造者而言，大幅增进厂商库存管理的便利性，且密铺时可更简单而省时。
图9所示，是以前述三个四边形图案建构的另一种密铺平面系统，其包括利用相同的三个四边形图案11、12、13拼铺成二种鼓形六边形，其中一种鼓形六边形的笔尖四边形11与左影四边形12、右影四边形13相较于另一种六边形系成镜射平移，此证明本发明的三个四边形图案可做为周期性及非周期性密铺平面系统。
当然，本发明仍存在许多例子，其间仅细节上的变化。请参阅图10至图14，为本发明的密铺平面系统第二实施例，是夹角72°等腰三角形建构成的笔尖、左影、右影三个四边形图案组，在本实施例中a＝72°，b＝c＝54°，其中该四边形图案组的边长比计算公式为：边长＝2×sin(36°)＝1.176；该笔尖四边形21边长比例(1.176∶1.176∶1∶1)和内角(60°、114°、72°、114°)、该左影四边形22边长比例(1∶1∶1∶1.176)和内角(60°、132°、54°、114°)、该右影四边形23边长比例(1∶1∶1.176∶1)和内角(60°、114°、54°、132°)。夹角是两倍黄金分割角的三个四边形的边长比例1.176∶1和内角，在图形分辨上会是一种尴尬的局面。首先是边长比例1.176和1的数值实在太接近了，从笔尖四边形的外形看起来简直像个菱形；内角所含的黄金分割角54°和60°仅仅相差6°，实在是太接近了，根本无法分辨。
图11至图12所示是鼓形与斜鼓形六边形密铺平面瓷砖，当将以上三个四边形图案组的左影与右影分别与笔尖的同一边的两个边结合，可以形成两个相等对角与对边等长的六边形，称它为鼓形(drum)，该鼓形六边形边长比例(1.176∶1∶1∶1.176∶1∶1)和内角(132°、114°、114°、132°、114°、114°)。
图13至图14所示是三叶形与雁形八边形密铺平面瓷砖，假若以笔尖为中心，左影与右影对称地将长边与笔尖的长边结合，三个四边形结合在一起，可以形成两个“相等边长对称的八边形”，分别称它们为三叶形(three leaves)与雁形(goose)。三叶形八边形密铺平面瓷砖边长比例(1∶1∶1∶1∶1∶1∶1∶1)和内角(72°、228°、60°、132°、168°、132°、60°、228°)。雁形八边形密铺平面瓷砖边长比例(1.176∶1∶1.176∶1∶1.176∶1∶1.176∶1)和内角(60°、246°、54°、114°、192°、114°、54°、246°)。
图15至图19所示为本发明的密铺平面系统第三实施例，是夹角108°等腰三角形建构成的笔尖、左影、右影三个四边形图案组，在本实施例中a＝108°，b＝c＝36°，其中该四边形图案组的边长比计算公式为：边长＝2×sin(54°)＝1.618；该笔尖四边形31边长比例(1.618∶1.618∶1∶1)和内角(60°、96°、108°、96°)、该左影四边形32边长比例(1∶1∶1∶1.618)和内角(60°、168°、36°、96°)、该右影四边形33边长比例(1∶1∶1.618∶1)和内角(60°、96°、36°、168°)。
图16至图17所示是鼓形与斜鼓形六边形密铺平面瓷砖，当将以上三个四边形图案组的左影与右影分别与笔尖的同一边的两个边结合，可以形成两个相等对角与对边等长的六边形，称它为鼓形(drum)，该鼓形六边形的边长比例是(1.618∶1∶1∶1.618∶1∶1)和内角(168°、96°、96°、168°、96°、96°)。黄金分割比例与黄金分割角分别在鼓形六边形的边长与内角表现出来，首先是鼓形六边形的边长比例1∶1.618，它也可以改写成1.618∶1，这是边长为“黄金分割比例的鼓形六边形”，至于鼓形六边形的两种内角96°与168°分别是60°和36°与108°的和。
图18至图19所示是三叶形与雁形八边形密铺平面瓷砖，假若以笔尖为中心，左影与右影对称地将长边与笔尖的长边结合，三个四边形结合在一起，可以形成两个“相等边长对称的八边形”，分别称它们为三叶形(three leaves)与雁形(goose)。三叶形八边形密铺平面瓷砖边长比例(1∶1∶1∶1∶1∶1∶1∶1)和内角(108°、192°、60°、168°、132°、168°、60°、192°)。雁形八边形密铺平面瓷砖边长比例(1.618∶1∶1.618∶1∶1.618∶1∶1.618∶1)和内角(60°、264°、36°、96°、228°、96°、36°、264°)。黄金分割比例与黄金分割角分别在雁形八边形的边长与内角表现出来，首先是雁形八边形的边长比例1∶1.618，它也可以改写成1.618∶1，这是边长为黄金分割比例的雁形八边形，和鼓形六边形一样，亦称呼它为“黄金比例的雁形八边形”。至于雁形八边形的内角264°、96°与228°分别是120°和144°、60°与36°、120°和108°的和。
图20至图24为本发明的密铺平面系统第四实施例，是夹角144°等腰三角形建构成的笔尖、左影、右影三个四边形图案组，在本实施例中a＝144°，b＝c＝18°，其中该四边形图案组的边长比计算公式为：边长＝2×sin(72°)＝1.902；该笔尖四边形41边长比例(1.902∶1.902∶1∶1)和内角(60°、78°、144°、78°)、该左影四边形42边长比例(1∶1∶1∶1.902)和内角(60°、204°、18°、78°)、该右影四边形43边长比例(1∶1∶1.902∶1)和内角(60°、78°、18°、204°)。
图21至图22所示是鼓形与斜鼓形六边形密铺平面瓷砖，当将以上三个四边形图案组的左影与右影分别与笔尖的同一边的两个边结合，可以形成两个“相等对角与对边等长的六边形”，称它为鼓形(drum)，该鼓形六边形的边长比例是(1.902∶1∶1∶1.902∶1∶1)和内角(204°、78°、78°、204°、78°、78°)。由于有内角204°超过180°，因此称呼它为凹状鼓形六边形。
图23至图24所示是三叶形与雁形八边形密铺平面瓷砖，假若以笔尖为中心，左影与右影对称地将长边与笔尖的长边结合，三个四边形结合在一起，可以形成两个“相等边长对称的八边形”，分别称它们为三叶形(three leaves)与雁形(goose)。三叶形八边形密铺平面瓷砖边长比例(1∶1∶1∶1∶1∶1∶1∶1)和内角(144°、156°、60°、204°、96°、204°、60°、156°)。雁形八边形密铺平面瓷砖边长比例(1.902∶1∶1.902∶1∶1.902∶1∶1.902∶1)和内角(60°、282°、18°、78°、264°、78°、18°、282°)。
经过以上的论述，我们可以知道依据拿破仑定理所做成的三组四边形、六边鼓形与八边三叶形和雁形对称图形，是可以组成密铺瓷砖图案。我们假设任何等腰三角形夹角α，两个等腰角β，底边与腰身的边长比例为λ。可以计算出它们边长与夹角，请参照表一。当然，假若夹角是与黄金分割有关的36°、72°、108°、144°等四个角的等腰三角形的边长与夹角，也可以参阅图28。值得一提的是，当等腰三角形夹角α等于60°的时候，三组四边形全都成为相同的笔尖图形，六边鼓形成为正六边形，八边三叶形与雁形成为一个相同的凹状等边八边形。当等腰三角形夹角α大于60°的时候，四边形左影与右影的名称则需要相互对调才能名符其实。同时八边三叶形与雁形的名称也需要相互对调。左影与右影、三叶形与雁形相互对调的现象，我们称之为“互调现象(mutual transposition)”。四边形的左影与右影和八边形的三叶形与雁形分别互称为“对偶图案(dual pattern)”。