周期性栅衍射信号库的生成 参看相关申请
本申请对先前已提交的名称为“周期性栅衍射谱程序库的生成”的美国临时申请系列号60/233,017要求优先权。该申请提交于2000年9月15日，申请的全部内容在此引入作为参考。
【发明背景】
1.发明领域
本申请总体涉及生成模拟衍射信号/用于周期性栅的信号。更详细讲，本申请是涉及生成模拟衍射信号库以预示从周期性栅衍射得到的电磁信号。
2.相关技术描述
在半导体制造中，周期性栅通常用于质量保证。例如，周期性栅的某典型应用里制造一个与半导体芯片的工作结构紧密相关的周期性栅。该周期性栅被电磁辐射照明。为周期性栅所偏转的电磁辐射被收集为衍射信号。其后，衍射信号被分析来判断周期性栅、且可扩展为半导体芯片操作结构是否按照规范制造。
在一个常规系统中，将照射周期性栅得到的衍射信号(测量的衍射信号)与一个模拟衍射信号库进行比较。库中每一种模拟衍射信号都和一种理论剖面相对应。当测量衍射信号和库中一种模拟衍射信号相匹配时，和模拟衍射信号相关的理论剖面被认为可以代表周期性栅的实际剖面。
常规系统的精确度依赖于，或部分依赖于，库的范围与/或分辨率。更详细讲，库的范围和库中不同模拟衍射信号的范围相关。因而，如果收集到的模拟衍射信号超出库的范围，那么无法进行匹配。库地分辨率与库中的不同模拟衍射信号之间差的量值有关。因而，越低的分辨率产生越粗的匹配。
因而，常规系统的精度可以通过增加库的范围和/或分辨率来提高。然而，增加库的范围与/或精度也增加了产生库所需的计算量。因而，要求确定库的合适范围与/或分辨率且避免所需计算量的不适当增加。
概要
本申请是关于产生一个周期性栅的模拟衍射信号(模拟信号)库。在一个实施方案里，获得周期性栅的一个测定衍射信号(测量信号)。假定参数和一个假定剖面相关联。这些假定参数在某范围内变化以产生一组假定剖面。假定参数变化范围基于测定信号进行调节。一组模拟信号由一组假定截面产生。
附图的描述
本发明通过参考下列描述及相应附图能够更好的被理解，这里相同部分可采用相同数字表示：
图1是一个用入射信号照射某周期性栅并探测从周期性栅偏转信号的系统的透视图；
图2是一个多层的周期性栅的一部分的截面视图；
图3是图2中在周期性栅的基底上分别形成周期性栅的多个层的截面视图；
图4是图2中在周期性栅的基底上依次形成周期性栅的多个层的截面视图；
图5是一个周期性栅的示例假定剖面的图形描述；
图6是作为一集合覆盖问题的矩形化问题映射关系的一种图形描述；
图7是作为一集合覆盖问题的另一矩形化问题映射关系的另一种图形描述；
图8A到8E是各种周期性栅的示例假定剖面的截面图；
图9是两个参数的图表；
图10是一个信号空间；
图11是一个示例库产生过程的流程图。
详细描述
下面描述列出大量具体结构，参数，以及类似内容。然而，应该认识到，这样的描述不是作为本发明范围的一种限制，而是为了提供对示例实施方案的更好的描述。
参看图1，在一个半导体晶片140上有一个周期性栅145。如图1所示，晶片140被放置于工艺板180上，其中包括一个冷板、一个热板、一个显影模块及类似部分。可作选择的是，晶片140也能被置于晶片轨迹上、刻蚀机的终端室内、终端站或测量站内、化学机械抛光工具里，以及类似地方。
如前所示，周期性栅145能在晶片140上形成的工作结构里或相邻处生成。例如，周期性栅可以在相邻于形成在晶片140上的晶体管处生成。可做选择的是，周期性栅可在晶体管的区域中形成但不影响晶体管工作。如下所要进行的更详尽描述中，周期性栅145的剖面的获得用来判定周期性栅并且扩展为与周期性栅相邻的工作结构是否按照规范进行制造。
更详细讲，如图1所示，周期性栅被从电磁源120发出的一个入射信号110照射，该电磁源为如椭圆仪、反射计及类似设备。入射信号110直接射于周期性栅145上，并与周期性栅145的法线呈入射角θi。衍射信号115以与法线呈θd的角度离开。在一个示例方案中，入射角θi近于Brewster角。然而入射角θi可以根据应用变化。例如，一个选择性的实施方案中，入射角θi介于约0到约40度之间。在另一个实施方案中入射角θi介于约30到约90度之间。在另外一个实施方案中，入射角θi介于40到约75度之间。还有一个实施方案中，入射角θi介于约50到约70度之间。
衍射信号115被探测器170接收并被信号处理系统190分析。当电磁源120是椭圆仪时，衍射信号115的幅度Ψ和相位Δ被接收探测。当电磁源120是反射计时，衍射信号115的相对强度被接收和探测。
信号处理系统190将探测器170收到的衍射信号与库185中所存的模拟衍射信号进行比较。库185中的每一种衍射信号都关联于一种理论剖面。当探测器170所收到的衍射信号和库185中的一种模拟衍射信号匹配时，和该匹配模拟衍射信号对应的理论分布图被认为代表周期性栅145的实际剖面。然后匹配的模拟衍射信号和/或理论剖面被用来帮助判断周期性栅的制造是否符合规范。
如上描述，库185包含与周期性栅145的理论剖面关联的模拟衍射信号。如图11所示，在该示例实施方案中，库185的产生过程包括：(1)特征化周期性栅的膜堆层；(2)得到用来形成周期性栅的材料的光学特性；(3)从周期性栅获得测量衍射信号；(4)决定用于模型化周期性栅的假定参数数量；(5)调整范围来变化得到一组假定剖面的假定参数；(6)决定用于分割假定剖面的层数，以产生对应假定剖面的模拟衍射信号；(7)决定用于产生一组模拟衍射信号的谐波的级次的数目；(8)决定用于产生一组模拟衍射信号的分辨率；(9)基于调节的范围、参数化、和/或分辨率来产生一组模拟衍射信号；(10)将一组测定衍射信号与库中模拟衍射信号进行比较。
参考图1，以上概述和以下更细节的描述用于产生库185，该过程可以由信号处理系统190进行。此外，虽然信号处理系统190和探测器170及电磁源120图中是用连线126和125连接，但数据也能通过不同方法和介质在信号处理系统190和探测器及电磁源120之间进行通讯。例如，数据可以由磁盘、致密盘、电话线、计算机网络、互联网等进行通讯。
进而，上述产生库185的过程概要只是进行示例而非穷举或排它。同样，产生库185的过程能包括前述内容的额外步骤。产生库185的过程也能由比上述更少的步骤组成。此外，产生库185能包括上述步骤但不同顺序。带着以上考虑，上述示例过程概要在以下被更详细描述。
1.特征化周期性栅膜堆层
继续参考图1，在产生库185前，先得到周期性栅145的特征量。例如，可以获得以下信息：
-所用测量工具的特性准备，如入射角和用于照射的入射信号110的波长范围。
-用于形成周期性栅145的材料与层堆中哪一层被构图
-周期性栅145中每一种参数的范围，如非构图层情况下的厚度，或构图层情况下的层的宽度(也就是，“关键性尺寸”或“CD”)和厚度。
-构图膜情况下的关键性尺寸的所需分辨率。
-间距，也就是，构图膜周期性栅145的周期性长度
-预期剖面形状的类型规范，如“底脚”，“底切”，与其它。
周期性栅145的这些特征量可以在经验和熟悉工艺的基础上获得。例如，这些特征量能够从熟悉制造晶片140和周期性栅145工艺的工艺工程师处获得。可作选择的是，这些特征量也能通过测量样本周期性栅获得，测量可使用原子显微镜(AFM)、斜角扫描电子显微镜(SEM)、X-SEM、及其它。
2.得到形成周期性栅的材料的光学特性
在本示例实施方案中，用于形成周期性栅的材料的光学特性是通过测量衍射信号获得的。参考图2，假定例如取样周期性栅包括在一衬底202上形成的4层不同材料层(即层204、206、208和210)。假设例中层204、206、208和210分别是栅氧、多晶硅、抗反射涂层和光敏电阻，衬底202是硅。
如图3所示，各种材料的光学特性通过测量衬底202上各层204、206、208和210的分离衍射信号来获得。更特殊是，为衬底202上生成的层204测量一种分离衍射信号。为衬底202上生成的层206测量另一种分离衍射信号。为衬底202上生成的层208测量另外的一种分离衍射信号。为衬底202上生成的层210测量别的一种分离衍射信号。
可做选择的是，如图4所示，对应这里称为“附加堆层”的方法，按照衬底202顶部依次生成的层204、206、208、210测量衍射信号。更进一步讲，在衬底202上生成层204后测量一种衍射信号。在层204上生成层206后测量另一种衍射信号。在层206上生成层208后测量另外一种衍射信号。在层208上生成层210后测量别的一种衍射信号。
再次参考图1，当为生成周期性栅145的各种材料测量完衍射信号后，每种材料的光学特性被提取出来。更进一步，再次参考图2，假定例如周期性栅145(图1)包括在衬底202上生成的层204到210，从层204到210每层光学特性都被提取出。在本示例实施方案中，通过使用优化引擎(optimizing engine)和薄膜电磁方程解算器提取出从204到210每层的折射系数的实部和虚部(n和k)。例如，折射系数能通过使用一种基于优化器的模拟退火，这里称为连续模拟退火(SAC)的变量优化器。
当层204到210里包括一高反射率的金属层时，入射信号110(图1)可能只穿透金属层“表面深度”，典型是几个纳米。因而，只有n-k能被提取，而标称厚度值没有测量出，除了通过理论获得或基于如工艺工程师的经验等。
对无金属的各层，通过结合使用SAC优化器有多种物理模型可用来提取光学特性，包括膜厚。适当物理模型的例子可见，G.E.Jellison，F.A.Modine，“波段间区非晶材料的光学功能参数化”，应用物理通讯，15 vol.69，no.3，371-373，1996年七月，和A.R.Forouhi，I.Bloomer，“晶态半导体和绝缘体的光学特性”，物理评论B.，vol.38，no.3，1865-1874，1988年七月，整个这些内容都被引入作为参考。
此外，当使用一个椭圆仪来得到衍射信号时，正切(Ψ)信号和余弦(Δ)信号的对数能被比较(如“Novel DUV PhotoresistModeling by Optical Thin-Film Decompositions from SpectralEllipsometry/Reflectometry Data”，SPIE LASE 1998，Xinhui Niu，Nickhil Harshvardhan Jakatdar和Costas Spanos撰稿，该完整内容引作为参考)。比较正切(Ψ)和余弦(Δ)的对数而非简单比较正切(Ψ)和余弦(Δ)有对噪声不敏感的优点。
3.从周期性栅获得测量衍射信号
本示例实施方案中，在生成库185前，从至少一个样品周期性栅145得到一个测量衍射信号。然而多个测量衍射信号更适宜从晶片140上多个点获取。此外，多个测量衍射信号能从多个晶片140上多个点获取。如下所描述，这些测量衍射信号能被用于产生库185。
4.决定用于模型化周期性栅剖面的假设参数数目
在本示例实施方案中，一组假定参数被用于模型化周期性栅145(图.1)的剖面。更进一步讲，一组假定参数被用来确定一个假定剖面，这被用来表征周期性栅145(图.1)的实际剖面。通过变化假定参数的值，一组假定剖面被产生。
例如，参考图.8A，2个假定参数(也就是，h1和w1)被用来模型化长方形剖面。如图.8A所示，h1代表假定剖面的高，而w1代表假定剖面的宽。通过变化h1和w1的值，一组长方形假定剖面被产生。
现在参考图.8B，3个假定参数(也就是，h1、w1和t1)被用来模型化一个梯形剖面。如图.8B所示，t1代表假定剖面底与边的角度。再次，通过变化这些假定参数，一组假定剖面被产生。
现在参考图.8C，5个假定参数(也就是，w1、w2、h、p1和w3)能被用来模型化圆角顶部的梯形剖面。如图.8C所示，w1代表底宽，w2代表梯形剖面顶宽，w3代表圆角顶部的宽。此外h代表整个高度，p1代表圆角顶部的高，而p1/h代表圆角部分高度所占百分比。再次，通过变化这些假定参数，一组假定剖面被产生。
现在参考图.8D，7个假定参数(也就是，w1、w2、p1、h、p2、w3和w4)能被用来模拟一个有圆顶和底脚的梯形剖面。如图.8D所示，w1表示底脚部宽度，w2表示梯形剖面底宽，w3表示梯形剖面顶宽，w4表示圆角顶部的宽度。此外，h代表整个高度，p1代表底脚高度，p2代表圆角顶部的高度。因而，p1/h表示底脚部高度占整个高度的百分比，而p2/h表示圆角部分高度占整个高度的百分比。再次，通过变化假定参数，一组假定剖面被产生。
参考图.8E，8个假定参数(也就是，w1、w2、p1、h1、h2、w3、w4和d1)能被用来模拟一个有圆顶和底脚的梯形剖面，且两层膜之间有横向偏移量。如图.8E所示，w1表示底脚部宽度，w2表示梯形剖面底宽，w3表示梯形剖面顶宽，w4表示顶膜的宽度。此外，h1代表第一膜高度，h2代表第二膜高度，p1代表底脚部高度，p1/h1表示第一膜中底脚高度的百分比，d1表示第一和第二膜之间横向偏移量。再次，通过变化这些假定参数，一组假定剖面被产生。
通过这种方式，能使用任意数目的假定参数来产生有不同形状和特征的假定剖面，如底切、脚部、t形顶、圆角、凹形侧壁、凸形侧壁等。可以理解，任意剖面形状都可以通过使用堆叠梯形的叠加进行近似。应该注意的是虽然本讨论集中在隆脊周期性栅，但隆脊和凹槽之间的区别某种程度上是人为的，本应用方案可以用于任意周期性栅。
如下所示的更详尽描述，在本实施方案中，能为一个假定剖面产生一个模拟衍射信号。该模拟衍射信号能和来自周期性栅145(图.1)的测量衍射信号比较。如果两个信号匹配，那么假定剖面被认为能表征周期性栅145(图.1)的实际剖面。
这种匹配的准确度部分依赖于根据周期性栅145(图1)剖面的复杂度选择合适的参数数目。更特别，使用太少的参数导致粗略的比较，而使用太多参数会浪费时间和计算能力。
例如，假设周期性栅145(图.1)的实际剖面足够近似为矩形。这种情况下，使用2个参数，如上面图.8A和对应描述，足够产生一组假定剖面去匹配周期性栅145(图.1)的实际剖面。然而，使用3个或更多参数产生的假定剖面能包括用2个参数产生的假定剖面。更特别，当t1为90度时，用3个参数产生的假定剖面能包括用2个参数产生的一组矩形剖面。然而，因为周期性栅145(图.1)实际剖面是矩形，所有使用3个参数产生的非矩形(也就是，t1不是90度)假定剖面都是不必要的。然而，如果周期性栅145(图.1)的实际剖面是梯形，那么使用2个参数将导致粗略匹配或不匹配。
由此，在本示例实施方案中，在生成库185(图1)前得到的测量衍射信号被用来确定产生库185(图.1)所需的合适参数数目。更进一步讲，在一种组态中，可以增加假定参数的数目，直到由假定参数表示的假定剖面产生的模拟衍射信号和测量衍射信号的匹配在所需容差范围内。增加而非减少所用参数的一个优点是时间和计算的效率更高，因为通过更多假定参数来产生更大假定剖面组并不总是需要的。
可做选择的是，在另一种组态中，假定参数能被减少，直到由假定参数确定的假定剖面产生的模拟衍射信号和测量衍射信号不再匹配到所需容差。减少而非增加参数的一个优点是它能更容易实现自动化，因为通过更少假定参数生成的假定剖面通常是用更多参数生成的假定剖面的子集。
此外，在本示例实施方案中，能对假定参数进行一个敏感度分析。例如，假设一组所用假定参数包括3个宽度参数(也就是，w1、w2和w3)。假设第二个宽度，w2，是一个不敏感宽度参数。由此，当第二个宽度w2变化时，产生的模拟衍射信号不会显著变化。由此，使用含一个不敏感参数的一组假定参数，能导致假定剖面和实际剖面之间的粗略匹配或不匹配。
由此，在一种组态中，在一个模拟衍射信号和先于产生库185(图.1)得到的测量衍射信号之间的匹配被确定后，用于产生模拟衍射信号的假定参数组中每种假定参数都被扰动，一个新模拟衍射信号被产生。对新参数模拟衍射信号影响越大，该参数越敏感。
可作选择是，在另一种组态中，在一个模拟衍射信号和先于产生库185(图.1)得到的测量衍射信号之间的匹配被确定后，用于产生模拟衍射信号的假定参数组中每种假定参数都被增加或减少一种。假设假定参数的数目被增加来确定模型化周期性栅145(图.1)所用假定参数的合适数目。这种情况下，假定参数数目被增加一种且额外模拟衍射信号被产生。如果测量衍射信号和这些模拟衍射信号之一之间有近似的匹配，那么所加的假定参数是不敏感的。
假设现在用减少假定参数数目的方法来确定模型化周期性栅145(图.1)所用假定参数的合适数目。这种情况下，假定参数数目被减少一种且额外模拟衍射信号被产生。如果测量衍射信号和这些模拟衍射信号之一之间有匹配，那么所去除的假定参数是不敏感的。新调节参数化应排除所有被认为不敏感的参数且应包括所有敏感参数。
一旦参数化完成，可根据剖面的任何部分来定义关键尺寸(CD)。下面是基于图.8E的剖面的2个关键尺寸定义的例子。
定义1：CD＝w1
定义2：CD＝w1/2+(4W2+W3)/10
关键尺寸定义可以是用户定制，上面所举典型例子能很容易被修改来适用不同需求。因而，应该理解存在多种关键尺寸定义，且被证实能适用于不同环境下。
5.调节范围以变化假定参数来产生一组假定剖面
如上所述，一组假定剖面可以通过变化假定参数来产生。如下面所要进行的更详尽描述，对这组假定剖面中每一个都可以产生一个模拟衍射信号。因而，库185(图.1)中可用的模拟衍射信号范围被假定参数变化的范围部分地确定。
也如上所示，假定参数变化的初始范围可从用户/顾客处获得。然而，某些情况下，该初始范围仅仅基于推测。甚至当初始范围是基于实验测量，如使用AFM、X-SEM等进行取样测量，当测量不精确时都会产生不良结果。
由此，在本示例实施方案中，假定参数变化的范围基于在产生库185(图.1)前得到的测量衍射信号进行调节。简言之，为确定合适的范围，多个模拟衍射信号被产生，直到一个能和测量衍射信号之一相匹配。当发现相匹配时，用来产生匹配模拟衍射信号的假定参数值被检查。更具体讲，通过确定假定参数值落在范围何处，能确定合适范围，同时范围能按需要进行调节。例如，如果这些参数落在范围一端，范围应被平移且重新确定中心位置。
在本示例实施方案中，在产生库185(图.1)前，假定参数的变化范围应被调节。如下面所进行的更详尽描述，使用假定参数经过调节的值范围来产生库185(图.1)中的模拟衍射信号。然而，应该理解产生库185(图.1)后范围仍能调节，其后，用调节过的范围可再次产生库185(图.1)。
此外，在本示例实施方案中，一种优化程序被用来产生匹配模拟衍射信号。更详细讲，选择用于优化过程的假定参数范围。再次，如果预先知道剖面形状，如采用AFM或X-SEM测量方法，能使用更紧密的范围。然而，当剖面形状无法事先知道时，可使用更大的范围，这增加了优化时间。
一种误差尺度被选择用来指导优化程序。在本示例实施方案中，被选择的误差尺度是测量衍射信号和模拟衍射信号之间的误差平方和。虽然这种尺度能够在误差相同和独立正态分布(iind)以及差异是相关的情况下应用时工作良好，但在误差是输出值的函数(因而不是iind)时和系数相关的情况下可能不是好方法。当误差是输出的指数函数时，误差对数差平方和(sum-squared-difference-log error)是更合适的误差尺度。因而，在本实施方案中，误差平方和被用来比较cos(Δ)，而误差对数差平方和用来比较tan(Ψ)，这里第0阶TM反射系数和第0阶TE反射系数的比率由tan(Ψ)eiΔ给出。
当选择误差尺度后，优化程序被运行来求出产生模拟衍射信号的假定参数值，以最小化模拟衍射信号和测量衍射信号之间误差尺度。更详细讲，在本示例实施方案中，使用一种模拟退火优化程序(见“Numerical Recipes”，section 10.9，Press，Flannery，Teukolsky &Vetterling，Cambridge University Press，1986，整个内容引入作为参考)。此外在本示例实施方案中，模拟衍射信号用精确模型产生(见University of California at Berkeley Doctoral Thesis of Xinhui Niu，“An Integrated System of Optical Metrology for Deep Sub-MicronLithography”，April 20，1999，整个内容引入作为参考)。
在本示例实施方案中，如果模拟衍射信号与测量衍射信号匹配到标准chi平方拟合度定义(standard chi-squared goodness-of fitdefinition)内(参见Applied Statistics by J.Neter，W.Wasserman，G，Whitmore，Publishers：Allyn and Bacon，2nd Ed.1982，完整内容在此引入作为参考)，则认为优化成功。于是所有假定参数的值被检查，且CD被计算。
这个过程被重复以找到所有测量衍射信号的匹配模拟衍射信号。假定参数范围的适当性可以通过检查匹配模拟衍射信号的假定参数值位于范围的什么位置来判定。例如，如果它们都位于范围的某一端，那么此范围可以被平移且重新确定中心位置。如果它们位于范围的各极限，那么此范围可以扩大。
如果优化过程无法找到和测量衍射信号的匹配模拟衍射信号，那么假定参数的范围或数目需要被改变。更详细讲，检查假定参数的值，如果它们位于范围极限附近，那么这表示范围应该被改变。例如，范围可被加倍或改变任一理想或适当的量。如果假定参数的值不位于限制范围极限附近，那么这一般表示用于特征化剖面形状的假定参数的数目与/或类型需要被改变。在任意一种情况里，当假定参数的范围或数目被改变后，优化过程被再次运行。
6.决定用于分割假定剖面的层数，以产生对应假定剖面的模拟衍射信号
如上所述，一组假定参数确定一个假定剖面。为每种假定剖面产生一个模拟衍射信号。更详尽讲，在本示例实施方案中，为一个假定剖面产生模拟衍射信号的过程包括将该假定剖面分割成和假定剖面形状近似的一组堆叠状矩形。从给定假定剖面的这组堆叠状矩形，产生相应模拟衍射信号。(见University of California at Berkeley DoctoralThesis of xinhui Niu，“An Integrated System of Opticai MetrologyFor Deep Sub-Micron Lithography”，April 20，1999，完整内容引入作为参考；以及美国专利申请号No.09/764,780，名称CACHING OFINTRA-LAYER CALCULATIONS FOR RAPID RIGOROUSCOUPLED-WAVE ANALYSIS，2001年1月17日提交，完整内容引入作为参考)。
因而，库的质量依赖于，部分依赖于，所选择堆叠状矩形组近似假定剖面的程度。进而，因为一个典型的库185(图.1)可能包括几十万种理论剖面，所以为假定剖面选择堆叠状矩形组的过程实现快速自动化进行是有益的。
应该注意，为一个剖面确定矩形的固定数目而不考虑剖面形状，且用等高的固定数目的矩形表示剖面，不是一种快速或有效的方法。这是因为用于近似一个剖面的矩形的优化数目可能不同于用于近似另一个剖面的矩形的优化数目。另外，用于近似一个给定剖面的堆叠状矩形的高度不需要是相同的。因而，为提供一种好的近似，矩形的数目，k，和矩形的高度将随各个剖面而确定。
然而，库产生时间是矩形数目k的线形函数。因此，为提高库质量来增大k会导致产生库185(图.1)所用时间的增加。因而，允许矩形有可变化高度有利于用最小数目的矩形来精密近似每个剖面。
因而，在一个示例实施方案中，一个步骤用来决定变化高度的矩形的数目，以更好近似剖面的形状。更特别是，这个问题能够被转化为优化组合问题，称为“集合覆盖”问题。试探法能用来解决这个问题。
简言之，一个集合覆盖问题牵涉到元素的一个基本集合B，和集合C1、C2…Cn的一个类集C，这里每个Ci都是B的一个真子集，集合C1、C2…Cn可以共享元素。此外，每个集合Ci都有相应权重Wi。覆盖问题的目的是用集合Ci覆盖B中的所有元素，使它们的总值最小。
回到将矩形化问题转为集合覆盖问题的本申请的方案，用P表示一个给定剖面。为容易表示，剖面P被认为沿y轴对称，因此可以只考虑剖面P的一边。在后面描述中，考虑剖面P的左半部。沿y轴以规则间隔Δy选择剖面上的点，这里Δy比剖面高度小得多。这种选择允许用p1、p2…pn表示的离散点近似连续曲线。换句话说，点p1、p2…pn分别相应坐标(x1，0)、(x2，Δy)…(xn，(n-1)Δy)。这些点p1、p2…pn构成基本集合B，而C中集合对应这些点所能产生的矩形。
如图.5的示例矩形化所示，每个矩形都有左下角来自B中的点pi，它的左上角和左下角有相同x坐标。此外，它的左上角y坐标是一定值jΔy，这里j≥i。沿剖面通过选择两个高度iΔy、jΔy能构成(n*(n-1))/2个不同矩形—只要矩形的顶和底位于剖面P内(或位于P的顶边和底边处)，这些矩形有从Δy到nΔy之间所有可能高度，和剖面P中所有可能位置。这些矩形用R1、R2…Rm表示，这里m＝(n*(n-1))/2。参考图.6，矩形Ri的左手边从rΔy垂直延伸到sΔy，这里r和s是整数，且0≤r＜s≤n，Ri的左手边近似子区P的近似用Si表示，且集合Ci包括位于Si内剖面P的所有点，也就是，y坐标在rΔy和sΔy之间的剖面P上所有点。
因而，一个具有集合C1、C2…Cm的集合系统被建立。于是给集合Ci赋予权重。因为集合覆盖问题的目标是最小化覆盖的总值，权重Wi被用来反映这个目的，也就是，通过量化近似的质量来近似剖面形状。因而，如图6所示，赋予矩形Ri的权重Wi反映矩形Ri的面积和剖面p的Si部分和y轴605之间的面积的面积差别。如图.y所示，这里Si部分位于矩形Ri外，权重Wi被认为是一个正值。权重Wi/|Ci|越大，矩形Ri作为剖面P的一种近似越糟糕，这里|Ci|表示集合Ci的基数。
至此集合覆盖问题和剖面矩形化之间的映射已经给出。下一步是解决集合覆盖问题。已经表示出解决集合覆盖问题计算上困难，因为最好的已知精确解算法的运行时间是输入量的指数函数。然而，存在许多有效的试探方法能产生接近优化的解决方法。
例如，一种称为“贪婪”启发式的试探法可以被使用。在每一步里，这种试探法选择Wi/|Ci|值小的组Ci。然后将Ci加入解集Z中且对基本集合B删除所有Ci中元素，再删除与Ci分享任何元素的任何其它集合Cj。此外，C内所有空集合被移走。因而，在每一步里，基本集合B的元素数目都被减少。这一过程被重复直到基本集合B成为空集。至此，解集Z包含覆盖所有剖面点pi的集合。解集Z内的集合能被转回各矩形以近似剖面P。应该指出，一定阶段值|Ci|的值是该阶段它所含元素数目——不是它初始所含数目。因为集合Ci的选择依赖于值Wi/|Ci|，所得矩形能有不同尺寸。关于这种试探法的基本算法的更详尽描述可在这篇文章中找到，“Approximation algorithms forclustering to minimize the sum of diameters”，by Srinivas Doddi，Madhav Marathe，S.S.Ravi，David Taylor，and Peter Widmayer，Scandinavian workshop on algorithm theory(SWAT)2000，Norway，完整内容引入作为参考。
虽然上述方法返回近似给定剖面的一组矩形，但矩形数目可能会非常大。在上面所述文章中，Doddi等人发现以Δw均匀增加每个集合的权重，且再次运行上述方法，矩形数目可以减少。增加Δw值，重复上述过程，能够得到目标矩形数。
虽然已描述矩形被用来表示剖面形状，但其它几何形状，包括梯形，也能使用。例如，用梯形自动逼近一个剖面的过程可以被用于通过调节范围变化参数来产生模拟衍射信号组的步骤中。
7.决定用于产生模拟衍射信号组的谐波级的数目；
如上所述，本示例实施方案中，模拟衍射信号能使用“严格耦合波形分析(RCWA)产生。关于RCWA的更详细描述，见T.K.Gaylord，M.G.Moharam，“Analysis and Application of Optical Diffraction byGratings”，Proceedings of the IEEE，vol.73，no.5，May 1985，完整内容引入作为参考。
在进行RCWA计算前，应该选择所用谐波级的数目。在本实施方案中，进行一种级收敛测试来决定RCWA计算中所用谐波级的数目。更详细讲，使用谐波级的数目从1到40(如果需要可以更高)的RCWA计算来产生模拟衍射信号。当每对连续级数值对应模拟衍射信号变化在每个波长都小于光学仪探测器(如图1中探测器170)所能探测的信号最小绝对变化，那么一对连续级中较小的那个被当成谐波级的优化数目。
当特征化周期性栅145(图.1)中确定多个剖面形状时，可对这些剖面形状的每一个进行一次级收敛测试。通过这种方式，进行级收敛测试得到的最大谐波级的数目，然后被用于产生库185(图.1)
8.决定用于产生模拟衍射信号组的分辨率；
如前所示，假定参数的值在一定范围内变化来产生一组假定剖面。然后对假定剖面组产生模拟衍射信号。每个模拟衍射信号和一个假定剖面配对，然后这些对被存于库185中(图.1)。假定参数变化的增量决定库185(图.1)的分辨率。由此，增量越小，分辨率越高，且库尺寸越大。
因而，产生库185(图.1)所用假定参数分辨率的确定过程是通过(1)通过使用大的库分辨率来最小化库尺寸，和(2)通过使用小的库分辨率来实现信号和剖面之间的精确匹配，二者之间的一种折衷。更详细讲，在本实施方案中，用生成整个库的范围的一部分生成一个缩减库。使用缩减库，没有特定分辨率且仍给关键参数提供精确匹配的假定参数的最低分辨率被确定。
作为例子，假设3个假定参数(顶CD、中CD和底CD)被用于特征化一个剖面。假设顶CD、中CD和底CD范围分别为60到65纳米、200到210纳米和120到130纳米。也假设关键参数是底CD，且底CD底的特定分辨率是0.1纳米，而顶CD和中CD没有特定分辨率。
在本示例实施方案中，用特定于假定参数的范围的一部分生成一个缩减库。在这个例子中，模拟衍射信号的缩减库被产生于顶CD为60到61之间、中CD为200到201之间、底CD为120和121之间。
初始，用最高特定分辨率产生缩减库。在本例中，模拟衍射信号产生中，顶CD、中CD和底CD在它们各自范围之间增量为0.1纳米。例如，产生顶CD为60、60.1、60.2……60.9和61的模拟衍射信号。产生中CD为200、200.1、200.2……200.9和201的模拟衍射信号。产生底CD为120、120.1、120.2……120.9和121的模拟衍射信号。
缩减库中的非关键参数的分辨率被以增量减小，直到关键参数的匹配尝试失败为止。在本例中，对应假定参数组为顶CD60.1、中CD200、底CD120的模拟衍射信号被从缩减库中移走。其后对移走的模拟衍射信号和缩减库中保留的模拟衍射信号进行匹配尝试。如果与被移走模拟衍射信号有相同关键参数的模拟衍射信号相匹配(也就是，120的底CD)，那么顶CD的分辨率可以进一步被减小。以这种方式，每个非关键参数都被检测来决定所能使用的最小分辨率。这一考察对所有非关键参数同时进行以便能考虑到参数相互作用。
在后面描述中，提供一个更详细描述，以用于确定产生库185(图.1)的假定参数pi的分辨率Δpi的过程，该确定过程关于以下问题折衷考虑：(1)用大的库分辨率Δpi来最小化库尺寸；(2)用小的库分辨率Δpi来通过信号和剖面间的精确匹配。
用于特征化各种剖面P的参数pi在上面进行了详细描述。在后面描述中，展示了通用的m个参数p1、p2……pm，描述特例m＝2的情况将在图.9中被描述且用大括号“{}”内的文字说明。{具体看，认为第一个参数p1为矩形剖面的宽w1，第二个参数p2为矩形剖面的高h1。}因而，任何剖面P可以用m维空间的一点表示。{因而，如图.9所示，任意剖面P可以用2维空间的一点表示。}库185(图.1)中所用剖面P的范围可以由每个参数最小和最大值pi(min)、pi(max)确定。
典型情况下，半导体制造中感兴趣的特定分辨率，也就是，目标分辨率R，是关键尺寸的分辨率。通常，关键维的分辨率是多个参数pi的分辨率Δpi的某种函数。{在2维例子中，关键维的分辨率恰巧是第一个参数pi＝w1的分辨率Δpi。但是为使2维讨论能对应于通用情况，关键维将被假设为多个参数pi的分辨率Δpi的一个函数。}
典型情况下仅考虑单个目标分辨率。然而，在本实施方案中，能考虑多个目标分辨率Ri，且剖面和信号之间映射的精度允许确定复合剖面形状参数pi的分辨率Δpi。
特定剖面P的栅产生一个复数值衍射信号S(P，λ)，被标绘为波长λ的一种函数。信号S(P，λ)的量值是强度，信号S(P，λ)的相位等于二者比率的正切，电场向量的正交平面极化。当然，一个衍射信号可以被数字化，且数字值序列可以被组成一个向量，尽管一个向量如果要精确表示信号需要有大量的项。因而，每个信号S(P，λ)对应高维信号空间一个点，且高维空间彼此相近的点对应相似的衍射信号。为本讨论中方便描述，图10中2维的信号空间，S1、S2，被展示。图10的2维描述可以被认为是高维空间在2维上的投影，或者信号空间上的2维切片。
在本实施方案中，参数pi的库分辨率Δpi的确定通过先选择一个标定剖面p(n)，再产生对应信号S(p(n))而开始。然后产生标定剖面p(n)附近的一组剖面P。完成这一过程可以通过在剖面空间标定n附近选择一个规则间隔的点阵，剖面空间标定n附近一个不规则间隔的点阵，或剖面空间标定n附近随机分散的点。为方便讨论和描述，考虑标定n附近一个规则间隔的点阵{在图.9中描述}，为每个参数pi选择参数增量值δpi。因而，位于以下位置的剖面
n+Σiaiδpi
且对应的衍射信号
S(n+Σiaiδpi)
被产生，这里ai取整数值(…，-2，-1，0，1，2，3…)且从i＝1到i＝m求和，n是对应于标定剖面p(n)的向量。
{因而，如图.9所示，位于
n+a1δp1+a2δp2，
且对应的衍射信号，
S(n+a1δp1+a2δp2)
的剖面被产生，这里a1和a2取整数值(…，-2，-1，0，1，2，3，…)。}(为方便表示，剖面P和它在剖面空间对应的向量将被同义使用。)参数增量值δpi相对于库分辨率Δpi的预期值选择小值，也就是
δpi＜＜Δpi
{在图.9所示例中，参数增量值δp1和δp1分别只有用来判定参数的分辨率参数值范围尺寸(p1(max)-p1(min)和(p2(max)-p2(min))的1/8和1/6。}实际上，参数增量值δpi选取上比参数值的范围尺寸(pi(max)-pi(min))和分辨率Δpi的数量级小。尽管可以相应于栅格上的点选取剖面P，但通常对应衍射信号S(如图10中所绘的点)，并不是按照均匀间隔分布的。
决定参数pi分辨率Δpi的下一步是按照离标定剖面P(n)的信号S(n)的距离增加来排列信号S(n+a1δp1+a2δp2)，该标定此后称为标定信号S(n)或S(n)。在本实施方案中，第一个信号S(1)和第二个信号S(2)之间距离用误差度的对数差平方和Φ来衡量，也就是
Φ(S(1)，S(2))＝Σλ[logS(1)(λ)-logS(2)(λ)]2
这里的和是取整个均匀间隔波长λ。如图.10所示，这是用一系列间隔紧密的超球面进行图示，图.10中用圆1002、1004、1006和1008表示，圆心位于标定信号S(n)处，根据封闭了各个信号S(n+Σiaiδpi){S(n+a1δp1+a2δp2)}的最大超球面1002、1004、1006和1008排列信号S(n+Σiaiδpi){S(n+a1δp1+a2δp2)}.]]>最小的超球面1002对应仪器的分辨率ε，也就是，所有波长λ下位于最小的超球面1002内的所有信号S都满足
S(n)(λ)-S(λ)≤ε
在图10的示例中，圆1002内显示了4个信号。
相应本发明的下一步，按照距离标定信号S(n)增加距离Φ的顺序来测试信号S(n+Σiaiδpi){S(n+a1δp1+a2δp2)}，以判定哪个是最接近标定信号S(n)的信号S(n+Σiaiδpi){S(n+a1δp1+a2δp2)}，标定信号具有与标定剖面p(n)差为目标分辨率R的剖面(n+Σiaiδpi){n+a1δp1+a2δp2}。在多目标分辨率R情况下，按照距离标定信号S(n)增加距离Φ的顺序来测试信号S(n+Σiaiδpi){S(n+a1δp1+a2δp2)}，以判定哪个是最接近标定信号S(n)的信号S(n+Σiaiδpi){S(n+a1δp1+a2δp2)}，该标定信号具有与标定剖面p(n)差为一个目标分辨率Ri的剖面(n+Σiaiδpi){n+a1δp1+a2δp2}。该特殊信号被命名为边界信号S(B)，包围边界信号S(B)的最小超球面1002、1004、1006和1008称为边界超球面B。对于落在边界超球面B外边的那些信号S，相应的剖面P在判定库分辨率Δpi的过程里被舍弃不予考虑。
然后，对应位于边界超球面B内的每个信号S，确定它相对于标定剖面向量n的位移向量V。具体讲，用向量(p1a，p2a，…，pma)描述的剖面p(a)和标定向量n=(p1n,p2n,···,pmn)]]>之间的位移量V由下式给定
V=(p1a-p1n,p2a-p2n,···pma-pmn)]]>
{或图.9所示2维情况下，
V=(p1a-p1n,p2a-p2n)]]>
图.9所示示例位移向量V为V＝(1，2)。}等价位移向量组V′定义为
V′=(±|p1a-p1n|,±|p2a-p2n|,···,±|pma-pmn|),]]>
{或在图.9所示2维情况下，
V′=(±|p1a-p1n|,±|p2a-p2n|),}]]>
也就是，等价位移向量组V′，包括初始位移向量V，定义了m维超矩形{图.9所示2维矩形920}的2m{4}个拐角。
其后，对每个位于边界超球面B内的信号S(V)，确定所有等效位移向量V′是否对应也位于超球面B内的信号S(V′)。如果一个或更多的信号S(V′)不在超球面B内，那么对应于整个等效位移向量组V′的剖面在判定库分辨率Δpi的过程中被舍弃不予考虑。换句话说，判定库分辨率Δpi所考虑的是那些位于剖面空间内的m维超矩形{2维矩形}，其所有对应的信号S位于边界超球面B内。这些m维超矩形{2维超矩形}被考虑作为库分辨率。
对每个位于剖面空间内的m维超矩形{2维矩形}，(这些超矩形对应信号S都位于边界超球面B内，)要求填满剖面空间m维超矩形{2维矩形}的数目N被模拟。对于一个p1*×p2*×…×pm*的超矩形，个数N是填入由边界pi(min)＜pi＜pi(max)确定的一个超矩形空间的如p1*×p2*×…×pm*超矩形的数目。个数N由下式给定
N=max[(p1(max)-p1(min))/p1*,(p2(max)-p2(min))/p2*,···],]]>
这里上式中的方括号表示每个分数值都取最接近的整数。{例如，图.9所示由等效向量V′确定的2δp1×4δp2矩形620，因为此矩形剖面空间宽为(p1(max)-p1(min))=9δp1]]>和高为(p2(max)-p2(min))=6δp2,]]>所以个数N为5。}
最后，用于库的分辨率Δpi对于由等效向量组V′确定的m维超矩形的尺寸，该等效向量组具有(i)最小个数N，且(ii)所有对应信号S(V′)都位于边界超球面B内。
9.基于调节范围、参数化、和/或分辨率来产生衍射信号组；
在本示例实施方案中，产生库185(图.1)，这里使用按上述调节的参数、范围和分辨率同时变化剖面形状和膜几何(厚度和宽度)参数。库185(图.1)中产生的剖面数目是参数的剖面形状参数化、范围和分辨率的函数。此外，库中的项是栅间距、底层和构图层的膜的光学特性、剖面参数范围、剖面参数分辨率和剖面形状的函数。应该注意，库185(图.1)可以只用调节的范围或只用调节的分辨率来产生。
(10)将一组测定衍射信号与库中模拟衍射信号进行比较。
在本示例实施方案中，产生库185(图.1)后，将一组测量衍射信号和库185(图.1)中的模拟衍射信号相比较，作为一种质量控制。如果库185(图.1)中找到的最好匹配和测量衍射信号之间误差比临界拟合优度级限更好，那么库产生过程被认为是成功的。作为可选择的，或更好的是，质量控制能够通过比较由其它测量技术，如X-SEM、CD-SEM等，获得的宽度和高度值来保证。
虽然示例实施方案已经被描述，各种与本发明精神和/或范围不脱离的修改都能使用。因而，本发明的解释将不局限于上面附图和描述所显示的特定形式。