一种基于多目标萤火虫算法的路径规划方法 【技术领域】
本发明属于路径规划技术领域， 具体涉及一种基于多目标萤火虫算法的路径规划方法。 背景技术 路径规划是机器人实现自主导航的核心技术之一。 移动机器人路径规划就是根据 一定的任务要求 （路径最短、 消耗量最少或使用时间最短等） 寻求一条连接起点到终点且能 避开环境中障碍物的移动机器人的运动轨迹， 即最优或次优有效路径。传统的路径规划通 常只考虑单个衡量准则的优化， 根据某个优化准则在决策空间中找到一条达到目标状态的 最优路径。 然而， 在实际应用中， 通常需要考虑对多个因素同时进行优化， 比如路径长度、 平 滑度、 机器人能耗、 安全性等。此时， 路径规划问题可以视为一个多目标优化问题。与单目 标条件下的路径规划问题不同， 由于各个目标通常都存在着冲突， 一个解对于某个目标来 说是较好的， 对于其他目标来说可能是较差的， 这样就造成了多目标路径规划问题一般不 存在唯一确定的最优路径， 而是一组无法进行比较的最优路径的集合。 对于实际问题， 必须 根据问题的实际情况和决策者的偏好， 从中选择一条合适路径来使用。 目前， 对于多目标路 径规划问题已经有了一些研究成果， 但是大多数文献为了简化问题， 通常采用加权法把多 个性能指标函数组合成一个标量函数， 使之转化为单目标优化问题进行求解， 如申请号为 200910113086.8 的专利采用加权法把即时子目标、 安全性子目标和平稳性子目标组合为一 个目标函数进行路径规划 ； 加权法简单直观， 但运行一次只能得到一个解， 且存在权重选取 的问题， 要求对问题的本身有很强的先验认识， 当决策者的偏好发生改变时， 要相应改变权 重的值。
进化计算是一种基于群体搜索的随机优化技术， 通过在代与代之间维持由潜在解 组成的种群来实现全局搜索， 可以并行地搜索解空间中的多个解， 并能利用不同解之间的 相似性来提高其开发求解的效率， 因此进化计算比较适合求解多目标优化问题。已有一些 专利文献用进化算法解决多目标问题， 比如申请号为 200710038988.0 的发明专利用多目 标进化算法解决波导 - 光纤的自动调芯问题 ； 申请号为 201110037461.2 的发明专利基于 多目标进化算法解决工程设计优化问题 ； 申请号为 200810153138.X 的发明专利基于模糊 专家系统采用多目标粒子群算法设计了一种电机优化设计方法。另外， 现在已经形成了很 多典型的多目标进化算法， 比如基于遗传算法的向量估计遗传算法 （VEGA） 、 多目标遗传算 法 （MOGA） 、 小生境 Pareto 遗传算法 （NPGA） 、 非劣排序遗传算法 （NSGA） 、 强度 Pareto 进化 算法 （SPEA） 、 NSGA2、 Pareto 档案进化策略 （PAES） ； 基于粒子群算法的多目标粒子群算法 （MOPSO） 。 这些算法对于不同的多目标优化问题的处理效果各有千秋， 成为当前多目标优化 领域研究的焦点。但是， 基于遗传算法的多目标进化算法需要将多个同时优化的目标转化 为相应的适应度值， 这样才能应用 “优胜劣汰” 的自然法则完成搜寻解的过程， 导致算法比 较复杂， 运算量大 ； 而基于粒子群算法的多目标粒子群算法则需要解决如何选取全局最优 粒子的问题， 鉴于多目标优化问题有多个需要同时优化的目标函数， 所以很难选取一个合
理的全局最优粒子来指导粒子群寻优。
萤火虫算法 （Firefly Algorithm,FA） 是由 X.S Yang 于 2008 年提出的一种新的 生物启发算法。FA 也是一种基于群体搜索的随机优化算法， 但是其个体之间的信息传递 和信息共享机制与进化算法、 粒子群算法不同， 在 FA 中， 萤火虫个体之间两两相互作用， 亮 度大的萤火虫吸引亮度小的萤火虫不断向它移动， 从而引导整个群体向更优的区域移动。 这种特有的信息共享机制使得 FA 能够在保证收敛速度的前提下， 不容易陷入局部最优。 FA 在单目标优化问题中的成功应用说明了 FA 的有效性， 但是 FA 不能直接应用于多目标 优化问题。Theofanis 等人用 FA 解决电力系统中环境经济负荷调度这一多目标优化问题 （Application of the Firefly Algorithm for Solving the Economic Emissions Load Dispatch Problem,2010） ， 该文献的解决方案是先用加权法把多目标优化问题转化为单目 标优化问题， 再采用 FA 对单个目标函数进行优化， 但是这种方法运行一次只能得到一个 解， 且存在权重选取的问题， 要求对问题的本身有很强的先验认识， 当决策者的偏好发生改 变时， 要相应改变权重的值， 不符合多目标优化问题的本质。申请号为 201110257951.3 的 发明专利设计了一种基于萤火虫算法的舰船路径规划方法， 但这种方法只考虑对路径总长 度进行优化， 没有考虑路径规划问题中的其他性能指标。 发明内容 针对现有技术中存在的问题， 本发明对基本萤火虫算法进行改进， 提出一种基于 多目标萤火虫算法的路径规划方法。本发明中提供的方法区别于现有方法的显著特征在 于： 其一， 基于 Pareto 支配的概念， 结合 FA 的信息共享机制， 对基本萤火虫算法进行改进， 使其能够直接解决多目标优化问题， 很好地利用了萤火虫算法的全局搜索与并行计算能 力； 其二， 本发明针对多目标路径规划问题， 在规划中同时考虑多个路径性能指标， 一次规 划就能够得到一组 Pareto 最优解集， 具有很大的灵活性。这种路径规划方法异于传统的针 对单一目标的路径规划方法和采用加权法把多目标转化为单目标的路径规划方法， 能更好 地满足路径规划的实际需要。
一种基于多目标萤火虫算法的路径规划方法， 其特征在于 ： 具体包括以下几个步 骤：
步骤一 ： 对路径规划问题进行数学建模 ：
（1） 对路径规划的环境进行数学建模 ：
在二维平面中进行路径规划， S 为机器人的出发点， G 为终点， 在路径规划范围内 建立全局坐标系 O-XY， 若 n 个路径点组成一个路径， 则路径表示为 P ＝ {S,p1,p2,...,pn,G}， 其中 (p1,p2,...,pn) 为全局地图中的路径点的序列， 为路径规划的目标 ；
在全局坐标系 O-XY 中， 路径点序列的坐标为二维的， 为减小编码的长度， 建立一 个坐标系 S-X′ Y′， 以出发点 S 为坐标系原点， 以 作 X′轴， 垂直于 X′且经过 S 点的射 线作为 Y′轴， 对应的坐标变换为 ：
其中 (x,y),(x′ ,y′ ) 分别为地图中某一点在坐标系 O-XY 和 S-X′ Y′下的坐 标， θ 为坐标轴 X 与坐标轴 X′之间的夹角， (xs， ys) 为 S 点在坐标系 O-XY 下的坐标 ；将 线 段 SG 进 行 n+1 等 分， 在 每 一 个 等 分 点 作 垂 线， 得到平行直线族 (l1,l2,...,ln)， 平行直线族与待确定的路径 P 的交点为目标路径点序列 (p1,p2,...,pn) ； 定义 S 为起始路径点 p0， G 为终止路径点 pn+1， 一条候选路径表示成一系列可用路径点的集 合 P ＝ (p0,p1,p2,...,pn,pn+1)， 路径规划的目的为找到起始点和终止点之外的 n 个路径点 (p1,p2， ...,pn) ；
由于平行直线族 (l1,l2,...,ln) 相邻直线之间的距离相同， 所以根据这些路径点 在路径点集合中的序号确定其在 S-X′ Y′坐标系中的横坐标， 纵坐标初始化为工作区域 中的随机数， 为待优化部分， 因此， 对于某一序号为 i 的路径点， 其在 S-X′ Y′坐标系中的 横坐标 和纵坐标 分别表示为 ：
其中，分别表示序号为 i 的路径点在 S-X′ Y′坐标系中的横坐标值和纵坐 分别为纵坐标的最小值和最大值， 内服从均匀分布的随机数。标值 ； LSG 是起始点 S 和目标点 G 之间的距离， 和 表示在
（2） 确定路径的三个评价函数， 分别衡量路径长度、 路径平滑度和路径安全性 ：
设任意一条可行路径为 P ＝ (p0,p1,p2,...,pn,pn+1)， 则多目标路径规划问题的 3 个 性能指标定义如下 ：
（1） 路径长度 f1(P)
对于一条路径 P ＝ (p0,p1,p2,...,pn,pn+1)， 由 n+1 条路径段组成， 该路径的长度即 n+1 条路径段的长度之和 ；
其中 i 表示路径点的序号 ； |pipi+1| 表示路径点 pi 和路径点 pi+1 之间的路径段的长 分别表示序号为 i+1 的路径点在 S-X′ Y′坐标系中的横坐标值和纵坐标值 ； 分别度； 和和 分别表示序号为 i 的路径点在 S-X′ Y′坐标系中的横坐标值和纵坐标值， 和表示序号为 i+1 的路径点在 S-X′ Y′坐标系中的横坐标值和纵坐标值 ； |p0p1| 表示路径点 p0 和路径点 p1 之间的路径段的长度。
（2） 路径平滑度 f2(P)
将每个路径段看成一个矢量， 根据斜率计算出其与 X′轴的夹角， 为路径方向角， 计算相邻两段路径段的方向角的差值， 得到偏转角度 αi， 用偏转角度大小描述路径的平滑 程度 ：
f2(P) 为路径 P 的平均拐角值， αi(i ＝ 1,2,...n) 表示两向量 pi-1pi 和 pipi+1 的夹 角 （0 ≤ αi ＜ π） ； n 为 n+1 条路径段中相邻路径段向量之间夹角的个数 ； k 为 αi 中大于 或等于 π/2 的个数， 当某一夹角大于或等于 π/2 时， 对目标值进行惩罚 ；
（3） 路径安全距离 f3(P)
安全度是指机器人与障碍物之间的距离大小， 如果移动机器人尺寸较大， 则不能 被视为一个质点， 为了防止其某一部位与障碍物发生碰撞， 使其与障碍物保持一定的路径 安全距离 f3(P) ：
其中， d 表示路径 P 距离所有障碍物的最短距离 ；
（4） 对不可行路径进行惩罚
根据路径是否会碰撞障碍物， 把路径分为可行路径和不可行路径， 判断一条路径 是否为可行路径， 给定一条路径判断它与环境的相交信息， 障碍物设定为多边形， 由一组顶 点坐标描述出来， 因此， 计算每条路径段与障碍物每条边的相交信息， 得出整条路径与障碍 物的相交信息 ；
为保证每条不可行路径的目标函数值比所有可行路径的适应度值大， 在计算不可 行路径目标函数值时， 加上一个惩罚值， 对于不可行路径， 以上三个目标函数值的计算如 下：
fi(P) ＝ Wi+m×Ci,i ＝ 1,2,3
其中， Wi 为所有可行路径在目标函数 fi 上的最差值 ； m 为不可行路径 P 中不可行 路径段的个数 ； Ci 为惩罚因子 ；
步骤二 ： 初始化多目标萤火虫算法 ：
首先， 初始化多目标萤火虫算法的参数 ： 种群大小 N、 外部档案文件大小 Na 和最大 迭代次数 Tmax ； 初始化萤火虫的位置， 每只萤火虫代表一条备选路径， 经过步骤一对路径编 码的简化， 萤火虫位置向量的每一维分量依次代表备选路径上各个路径点的纵坐标。在搜 索空间内随机初始化萤火虫的初始位置， 如果要确定 n 个路径点， 则萤火虫的位置向量为 n 维向量 ；
步骤三 ： 更新萤火虫的位置， 并确定非劣解集 ：
在 FA 中， 萤火虫通过发光实现信息共享， 采用亮度来区分萤火虫所代表的解的优 劣， 亮度大的萤火虫吸引亮度小的萤火虫向它移动， 从而使得整个种群向着更好的区域移 动， 把萤火虫所在位置的目标函数值定义为其亮度， 采用 Pareto 支配的概念区分 FA 中的萤 火虫的亮度大小， 同时结合 FA 的信息共享机制， 引导萤火虫不断地向着更好的区域移动 ；
Pareto 支配 ：
在求目标函数最小值的多目标问题中， 设 X 为多目标优化问题的可行解集，为设 计变量， 为待优化的目标函数， 则 为目标向
量， 时， 称当且仅当且支配
Pareto 最优解 ：
如果在多目标优化问题的整个可行解集中不存在任何其他解 x′ Pareto 支配 x， 则称 x 为该问题的 Pareto 最优解 ；
Pareto 最优解集 ：
一个多目标优化问题所有 Pareto 最优解的集合构成了该问题的 Pareto 最优解 集；更新萤火虫位置和确定非劣解集的具体方法为 ：
首先， 依次把各个萤火虫的位置向量代入到路径长度、 路径平滑度和路径安全性 这三个目标函数， 并判断路径是否可行， 对不可行路径进行惩罚， 得到每只萤火虫对应的目 标函数向量 ；
对种群中的任意两只萤火虫， 基于 Pareto 支配的概念， 判断萤火虫之间的 Pareto 支配关系， 如果某萤火虫 iPareto 支配萤火虫 j， 则表示 i 所代表的路径更优， j 会被 i 吸引 而更新自己的位置， 其位置更新公式为 ：
其中 t 为迭代次数 ；为萤火虫 i 和 j 所处的空间位置 ； α 为 常 数， 取α ∈ [0,1]， 为随机数向量 ；
βij(rij) 为萤火虫 i 对萤火虫 j 的吸引力， 定义为 ：
其中 β0 为最大吸引力， γ 为光吸收系数， rij 为萤火虫 i 到萤火虫 j 的距离， n为 萤火虫位置向量 的维数， xi,k 为萤火虫 i 位置向量 的第 k 维分量， xj,k 为萤火虫 j 位置向在实现上述迭代的过程中， 保存不受任何其他萤火虫支配的萤火虫为本 量 的第 k 维分量。 次迭代的非劣解集 ； 步骤四 ： 更新外部档案文件。
采用外部档案文件用来保存在迭代过程中获得的所有性能都较好的路径， 最初外 部档案文件是空的， 随着迭代的进行， 用步骤三中每一代产生的非劣解集更新外部档案文 件， 档案文件的更新策略为 ： 对于非劣解集中的每个非劣解， 如果非劣解受档案成员支配， 则拒绝非劣解加入档案中 ； 如果非劣解支配了部分档案成员， 则移除那些受支配的成员， 同 时将非劣解加入档案中 ； 如果非劣解和档案中的所有成员彼此不受支配， 则直接将非劣解 加入档案中 ；
限定档案文件的大小， 当档案文件的规模事先设定的上限， 存在有删除档案文件 中部分非劣解的准则， 当档案文件的大小超过设定的最大规模 Na 时， 删除档案文件中多出 的非劣解的方法为 ： 计算所有档案成员个体邻域的密度， 并从小到大排序， 保留其中邻域密 度最小的 Na 个档案成员， 其他成员从档案文件中删除 ；
对于个体邻域密度的定义， PAES 算法采用自适应网格法定义个体邻域的密度， 具 体的为 ： 将搜索空间划分为若干个网格， 个体邻域密度定义为和它处于同一网格中的所有 个体的数目， 网格的划分随着外部档案文件成员的变化而自适应地改变， 当插入到档案中 的个体位于网格的现有边界之外， 则重新划分网格 ；
步骤五 ： 判断是否达到预先设定的最大迭代次数 ：
如果已经达到步骤二中设定的最大迭代次数， 则转到步骤六 ； 否则， 转到步骤三 ；
步骤六 ： 确定 Pareto 最优路径， 路径规划结束 ：
输出外部档案文件中的非劣解集， 则得到一组 Pareto 最优路径的集合， 根据实际 问题需要， 从中选择一条 Pareto 最优路径作为路径规划的结果。
本发明的优点在于 ：
第一， 本发明提出的基于多目标萤火虫算法进行路径规划方法， 对萤火虫算法进
行改进， 提出一种多目标萤火虫算法。 该算法能够解决多目标优化问题， 比经典的多目标进 化算法、 多目标粒子群算法更为简单易行， 具有通用性。
第二， 本发明提出的基于多目标萤火虫算法进行路径规划方法， 采用多目标萤火 虫算法解决同时考虑多个性能指标的路径规划问题， 能够为决策者提供合理的 Pareto 最 优解， 符合实际问题的需要。 附图说明
图1： 本发明提出的基于多目标萤火虫算法进行路径规划方法的流程图。
图2： 本发明中对规划区域环境的建模图。
图3： 本发明中多目标萤火虫算法流程图。 具体实施方式
下面将结合附图对本发明进行详细说明。
本发明提出的一种基于多目标萤火虫算法的路径规划方法， 如图 1 所示， 具体包 括以下几个步骤 ： 步骤一 ： 对路径规划问题进行数学建模。
（1） 对路径规划的环境进行数学建模。
如图 2 所示， 在二维平面中进行路径规划， S 为机器人的出发点， G 为终点。在路 径规划范围内建立全局坐标系 O-XY， 用黑色实心填充的物体表示障碍物。机器人的路径 规划即为寻找一个路径点的集合， 假设 n 个路径点组成一个路径， 则路径可以表示为 P ＝ {S,p1,p2,...,pn,G}， 其中 (p1,p2,...,pn) 为全局地图中的路径点的序列， 即路径规划的目 标。对路径点的要求是， 路径点为非障碍点， 而且与相邻路径点的连线上不存在障碍点。
在全局坐标系 O-XY 中， 路径点序列的坐标是二维的， 为了减小编码的长度， 建立 一个新的坐标系 S-X′ Y′。以出发点 S 为坐标系原点， 以 作 X′轴， 垂直于 X′且经过 S 点的射线作为 Y′轴。对应的坐标变换为 ：
其中 ： (x,y),(x′ ,y′ ) 分别为地图中某一点在坐标系 O-XY 和 S-X′ Y′下的坐 标， θ 为坐标轴 X 与坐标轴 X′之间的夹角， (xs， ys) 为 S 点在坐标系 O-XY 下的坐标。将 线 段 SG 进 行 n+1 等 分， 在 每 一 个 等 分 点 作 垂 线， 得到平行直线族 (l1,l2,...,ln)， 它们与待确定的路径 P 的交点即为目标路径点序列 (p1,p2,...,pn)。 定义 S 为起始路径点 p0， G 为终止路径点 pn+1， 这样一条候选路径就表示成一系列可用路径点的集 合 P ＝ (p0， p1， p2， ...， pn， pn+1)。路径规划的目的就是找到起始点和终止点之外的 n 个路 径点 (p1,p2,...,pn)。
由于平行直线族 (l1,l2,...,ln) 相邻直线之间的距离相同， 所以根据这些路径点 在路径点集合中的序号就可以确定其在 S-X′ Y′坐标系中的横坐标， 纵坐标可以初始化 为工作区域中的随机数， 为待优化部分。因此， 对于某一序号为 i 的路径点， 其在 S-X′ Y′ 坐标系中的横坐标 和纵坐标 分别可以表示为 ：
这样就把路径规划问题的二维编码简化为一维。 其中， 分别表示序号为 i 的路径点在 S-X′ Y′坐标系中的横坐标值和纵坐 分别为纵坐标的最小值和最大值， 内服从均匀分布的随机数。标值 ； LSG 是起始点 S 和目标点 G 之间的距离， 和 表示在
（2） 确定路径的三个评价函数， 分别衡量路径长度、 路径平滑度和路径安全性。
设任意一条可行路径为 P ＝ (p0,p1,p2,...,pn,pn+1)， 则多目标路径规划问题的 3 个 性能指标定义如下 ：
（1） 路径长度 f1(P)
对于一条路径 P ＝ (p0,p1,p2,...,pn,pn+1)， 由 n+1 条路径段组成， 该路径的长度即 n+1 条路径段的长度之和。
其中 i 表示路径点的序号 ； |pipi+1| 表示路径点 pi 和路径点 pi+1 之间的路径段的长 分别表示序号为 i+1 的路径点在 S-X′ Y′坐标系中的横坐标值和纵坐标值 ； 分别度； 和和 分别表示序号为 i 的路径点在 S-X′ Y′坐标系中的横坐标值和纵坐标值， 和表示序号为 i+1 的路径点在 S-X′ Y′坐标系中的横坐标值和纵坐标值 ； |p0p1| 表示路径点 p0 和路径点 p1 之间的路径段的长度。
（2） 路径平滑度 f2(P)
由于移动机器人的几何外形对其运动特性有一定的影响， 因此路径应平缓而光 滑， 即路径段与路径段之间的偏转角 αi 应尽可能的小。
若将每个路径段看成一个矢量， 根据斜率可以计算出其与 X′轴的夹角， 即路径方 向角， 计算相邻两段路径段的方向角的差值， 就可以得到偏转角度 αi。用偏转角度大小可 以描述路径的平滑程度。
f2(P) 为路径 P 的平均拐角值。上式中， αi(i ＝ 1,2,...n) 表示两向量 pi-1pi 和 pipi+1 的夹角 （0 ≤ αi ＜ π） ； n 为 n+1 条路径段中相邻路径段向量之间夹角的个数 ； k为 αi 中大于或等于 π/2 的个数， 即当某一夹角大于或等于 π/2 时， 对目标值进行惩罚。
（3） 路径安全距离 f3(P)
安全度是指机器人与障碍物之间的距离大小， 如果移动机器人尺寸较大， 则不能 被视为一个质点。 此时， 为了防止其某一部位与障碍物发生碰撞， 应尽量使其与障碍物保持 一定的路径安全距离 f3(P)。
其中， d 表示路径 P 距离所有障碍物的最短距离。根据路径是否会碰撞障碍物， 可以把路径分为可行路径和不可行路径。判断一条 路径是否为可行路径， 即给定一条路径判断它与环境的相交信息。 障碍物设定为多边形， 由 一组顶点坐标描述出来。因此， 只要计算每条路径段与障碍物每条边 （即相邻顶点连线） 的 相交信息， 即可得出整条路径与障碍物的相交信息。
由于规定目标函数值越小的路径越好， 为了保证每条不可行路径的目标函数值比 所有可行路径的适应度值大， 在计算不可行路径目标函数值时， 加上一个惩罚值。 对于不可 行路径， 以上三个目标函数值的计算如下 ：
fi(P) ＝ Wi+m×Ci,i ＝ 1， 2,3
式中， Wi 为所有可行路径在目标函数 fi 上的最差值 ； m 为不可行路径 P 中不可行 路径段的个数 ； Ci 为惩罚因子。
步骤二 ： 初始化多目标萤火虫算法。
如图 3 所示， 首先， 初始化多目标萤火虫算法的参数 ： 种群大小 N、 外部档案文件大 小 Na 和最大迭代次数 Tmax， 这些量的大小要根据待解决的问题来确定。种群大小 N 可以取 20 ～ 40 ； 外部档案文件大小 Na 确定了最终获得的路径集合的大小， Na 的值越大， 则最终可 供选择的路径数越多 ； 最大迭代次数可以取 300 ～ 600。
同时需要初始化的还有萤火虫的位置。每只萤火虫代表一条备选路径。经过步骤 一对路径编码的简化， 萤火虫位置向量的每一维分量依次代表备选路径上各个路径点的纵 坐标 （在 S-X′ Y′坐标系中） 。在搜索空间内随机初始化萤火虫的初始位置。如上所述， 如 果要确定 n 个路径点， 则萤火虫的位置向量为 n 维向量。
步骤三 ： 更新萤火虫的位置， 并确定非劣解集。
在 FA 中， 萤火虫通过发光实现信息共享， 采用亮度来区分萤火虫所代表的解的优 劣， 亮度大的萤火虫吸引亮度小的萤火虫向它移动， 从而使得整个种群向着更好的区域移 动。采用 FA 解决单目标优化问题时， 待优化的目标函数只有一个， 因此， 可以把萤火虫所在 位置的目标函数值定义为其亮度。 然而， 对于多目标优化问题， 由于要考虑对多个相互冲突 的目标函数同时进行优化， 无法直接采用某一个目标函数的值来衡量解的优劣。Pareto 支 配的概念可以有效地评价多目标优化中解的优劣， 因此可以采用 Pareto 支配的概念区分 FA 中的萤火虫的亮度大小， 同时结合 FA 的信息共享机制， 引导萤火虫不断地向着更好的区 域移动。
为了更好地解释这一过程， 首先给出 Pareto 支配的相关概念。
定义 1 ： Pareto 支配
在求目标函数最小值的多目标问题中， 设 X 为多目标优化问题的可行解集，为设 计变量， 为待优化的目标函数， 则 为目标向
量， 时， 称当且仅当且支配
定义 2 ： Pareto 最优解
如果在多目标优化问题的整个可行解集中不存在任何其他解 x′ Pareto 支配 x， 则称 x 为该问题的 Pareto 最优解， 也称为非劣解。
定义 3 ： Pareto 最优解集一个多目标优化问题所有 Pareto 最优解的集合构成了该问题的 Pareto 最优解 集， 或称为非劣解集。
由于路径规划问题要同时考虑路径长度、 路径平滑度和路径安全性三个性能指 标， 而这些性能指标往往是相互冲突的， 比如， 路径长度较短的路径平滑度和路径安全性可 能较差， 因此， 路径规划问题本质上是一个多目标优化问题， 可以采用上述多目标萤火虫算 法解决该问题。
更新萤火虫位置和确定非劣解集的具体方法为 ：
首先， 依次把各个萤火虫的位置向量代入到路径长度、 路径平滑度和路径安全性 这三个目标函数， 并判断路径是否可行， 对不可行路径进行惩罚， 得到每只萤火虫对应的目 标函数向量。
对种群中的任意两只萤火虫， 基于 Pareto 支配的概念， 判断萤火虫之间的 Pareto 支配关系。如果某萤火虫 iPareto 支配萤火虫 j， 则表示 i 所代表的路径更优， j 会被 i 吸 引而更新自己的位置， 其位置更新公式为 ：
其中 ： t 为迭代次数 ；为萤火虫 i 和 j 所处的空间位置 ； α 为常数， 可以取α ∈ [0,1]，是由高斯分布、 均匀分布或者其他分布得到的随机数向量。
βij(rij) 为萤火虫 i 对萤火虫 j 的吸引力， 定义为 ：其中 ： β0 为最大吸引力， 可以取 β0 ＝ 1。γ 为光吸收系数， 光吸收系数 γ 标 志了吸引力的变化， 它的值对萤火虫算法的收敛速度和优化效果有很大的影响， 可以取 γ ∈ [0.01,100]。rij 为萤火虫 i 到萤火虫 j 的距离， n 为萤火虫位置向量 的维数， xi,k 为萤火虫 i 位置向量 的第 k 维分量， xj,k 为萤火虫 j 位置向量 的第 k 维分量。 在实现上述迭代的过程中， 保存不受任何其他萤火虫支配的萤火虫为本次迭代的 非劣解集。
步骤四 ： 更新外部档案文件。
由于路径规划问题是一个多目标优化问题， 不能找到一条路径长度、 路径平滑度 和路径安全性都最优的路径， 只能对三个互相冲突的性能指标进行折衷权衡， 确定一些所 有性能都较好的路径供决策者进行选择。
采用外部档案文件用来保存在迭代过程中获得的所有性能都较好的路径， 即非劣 解。 最初外部档案文件是空的， 随着迭代的进行， 用步骤三中每一代产生的非劣解集更新外 部档案文件。 档案文件的更新策略为 ： 对于非劣解集中的每个非劣解， 如果非劣解受档案成 员支配， 则拒绝非劣解加入档案中 ； 如果非劣解支配了部分档案成员， 则移除那些受支配的 成员， 同时将非劣解加入档案中 ； 如果非劣解和档案中的所有成员彼此不受支配， 则直接将 非劣解加入档案中。
如果不对档案文件的大小进行限制， 那么所有满足上述条件的非劣解都可以进入 档案文件。但是， 由于档案文件在每一次迭代中都要进行更新， 如果不限定档案文件的大 小， 计算代价过大。因此， 从实际计算的角度考虑， 应该限定档案文件的大小。一旦档案文 件的规模达到事先设定的上限， 需要有删除档案文件中部分非劣解的准则。当档案文件的
大小超过设定的最大规模 Na 时， 删除档案文件中多出的非劣解的方法为 ： 计算所有档案成 员个体邻域的密度， 并从小到大排序， 保留其中邻域密度最小的 Na 个档案成员， 其他成员从 档案文件中删除。
对于个体邻域密度的定义， 多目标进化算法中已经有了很多种形式。PAES 算法采 用自适应网格法定义个体邻域的密度， 这种方法简单易行， 其运算量明显小于比较流行的 SPEA2 的 S 距离密度估计和 NEAG2 的密度估计策略， 性能上却并不逊色， 因此， 我们采用这种 方法定义外部档案文件中个体邻域密度。具体的估计方法为 ： 将搜索空间划分为若干个网 格， 个体邻域密度定义为和它处于同一网格中的所有个体的数目。网格的划分随着外部档 案文件成员的变化而自适应地改变， 当插入到档案中的个体位于网格的现有边界之外， 则 重新划分网格
步骤五 ： 判断是否达到预先设定的最大迭代次数。
如果已经达到步骤二中设定的最大迭代次数， 则转到步骤六 ； 否则， 转到步骤三。
步骤六 ： 确定 Pareto 最优路径， 路径规划结束。
输出外部档案文件中的非劣解集， 则得到一组 Pareto 最优路径的集合。根据实际 问题需要， 从中选择一条 Pareto 最优路径作为路径规划的结果。