基于投影的空间曲面四边形网格剖分方法技术领域
本发明涉及工程实践中应用有限元法进行数值计算时的网格剖分技术，尤其是涉
及基于投影的空间曲面四边形网格剖分方法。
背景技术
在有限单元法实施过程中，有限元前处理部分占相当大的比重，它主要包括连续
体离散化过程和约束信息、荷载信息以及材料信息的加载过程。其中，连续体离散化的过程
是这部分工作的核心，称为有限元网格剖分。研究如何在一定的区域中生成满足有限元分
析要求网格的方法称为有限元网格剖分方法。
曲面网格自动剖分是有限元网格剖分技术中的一个重要研究课题，它的用途相当
广泛。一方面，曲面网格剖分是实体网格剖分的前提和基础，曲面的网格剖分结果往往是实
体网生成器的输入数据，其生成网格质量的优劣对后续三维实体网格的质量有很大影响。
另一方面，工程结构中常用的薄壳结构件如大型钢岔管、压力容器、球罐、飞机蒙皮、冷凝
塔、汽车外壳等的分析也需要依靠曲面剖分来生成有限元网格数据。
曲面网格剖分按单元形状区分可分为三角形剖分、四边形剖分以及混合剖分三大
类。目前，三角形网格的生成算法已比较成熟，而已有的四边形网格生成算法的主要问题是
对复杂区域的适应性差，自动化程度不高，这是由于四边形网格本身拓扑关系的特殊性造
成的。但是，由于三角形网格无论是在计算精度上还是在收敛性上都要稍逊于四边形网格，
因此本发明提出的方法就是生成满足有限元分析需求的曲面四边形网格的方法。
常用的曲面网格剖分方法是映射法（Mapping Method）。映射法首先在曲面的二维
参数空间中利用平面域网格生成方法进行网格剖分，然后将剖分结果反向映射回物理空间
形成曲面网格。曲面网格剖分的映射法也称为参数空间法。平面域网格生成方法已经相当
成熟，可生成质量良好四边形单元网格。映射法的优点是算法简单、速度快、单元质量好、密
度可控制，可与形状优化算法集成等。
映射法一般可直接处理单连通域问题，而对于复杂多连通域问题，需要首先用手
工或自动方法将待剖分区域分解成几何形状规则的可映射子区域，然后在每个子区域内应
用映射法。但是，由于子区域分解繁琐费时，人工交互多，难以实现全自动化；因此映射法对
于形状较为复杂的曲面（由NURBS、DEM、TIN方式表达的q个子曲面所组成的组合曲面）适应
性差。另外,由于物理空间和参数空间存在非线性的对应关系，参数空间上性态优良的网格
映射到物理空间后往往会出现畸变，因此映射法的曲面适应能力较弱，对于映射畸变过于
强烈的曲面往往难以达到理想的剖分效果。
发明内容
本发明目的在于针对曲面网格划分中对形状较为复杂的曲面适应性差和映射失
真问题，提供一种基于投影的空间曲面四边形网格剖分方法。
为实现上述目的，本发明采取下述技术方案：
本发明所述基于投影的空间曲面四边形网格剖分方法，包括下述步骤：
第一步、将曲面S的外边界分割成由四条曲边所围成的扩展四边形，所述扩展四边形的
四条曲边的交点形成扩展四边形的四个顶点A、B、C、D；所述四条曲边AB、BC、CD、DA均由曲线
段、曲线段和直线段或直线段和直线段组成；
第二步、将所述扩展四边形的曲边AB和CD按照各自的曲线长度进行m等分，将曲边BC和
DA按照各自曲线长度进行n等分；其中， m、n为自然数；
第三步、采用直线连接曲边AB和CD上的第i个等分点，并将该直线进行n等分，形成n-1
个剖分点；其中，i为大于或等于1、小于或等于m-1的自然数；
第四步、将第三步中的所述n-1个剖分点分别向所述曲面S进行投影，找出各自的垂直
投影点，求出各个剖分点到各自所述垂直投影点的距离，将其中的最大值记录为Emax1；
第五步、将曲边AB和CD上的所述第i个等分点与第四步所述各个垂直投影点用直线连
接，形成第i条剖分线；
第六步、将第五步所述的第i条剖分线按照曲线长度n等分，形成n-1个等分点；
第七步、将第五步所述的第i条剖分线按照第六步所述的n-1个等分点重新连接，形成
新的第i条剖分线；
第八步、重复所述第三～七步骤，将所述曲边AB和CD上的m-1条剖分线全部形成；
第九步、连接所述曲边DA上的第j个等分点、曲边AB和曲边CD上的m-1条剖分线上每一
条中的第j个等分点以及曲边BC上的第j个等分点，形成第j条剖分线, 其中，j为大于或等
于1、小于或等于n-1的自然数；
第十步、将所述第j条剖分线按照曲线长度m等分，形成m-1个等分点；
第十一步、将所述m-1个等分点向曲面S投影，找到各自的垂直投影点，求出各个等分点
到各自所述垂直投影点的距离，将其中的最大值记录为Emax2；
第十二步、将所述Emax1与所述Emax2比较，其中的大值记录为Emax；
第十三步、将所述第j条剖分线按照垂直投影点重新连接，形成新的第j条剖分线；
第十四步、重复所述第九～十三步骤，将曲边DA和BC上的n-1条剖分线全部形成；
第十五步、判断所述大值Emax的大小，如果大值Emax大于设定的收敛标准，则认为剖分
没有完成，继续重复第四～十四步骤，直到大值Emax小于设定的收敛标准，即认为剖分完
成。
所述曲面S包括由NURBS、DEM、TIN方式表达的q个子曲面所组成的组合曲面；其中，
q为自然数。
所述第四步为：将第三步中的所述n-1个剖分点分别向所述曲面S进行投影，投影
时要遍历所述1～q个子曲面，找出各自的垂直投影点，求出各个剖分点到各自所述垂直投
影点的最大距离，将其中的最大值计入Emax1。
本发明优点在于采用曲面投影的思想方法，将平面域生成的规则网格投影到曲面
上，所针对的曲面不限于单一的单连通域曲面，曲面可以由NURBS、DEM、TIN等多种方式表达
的多曲面的组合体（相当于多个相互连接的剪裁曲面）；因此对曲面适应能力强，其生成的
网格较好地逼近原始曲面且网格的质量高，解决了映射畸变问题。
附图说明
图1是本发明实施例第一步完成后的曲面S示意图。
图2是本发明实施例第二步完成后的曲面S示意图。
图3是本发明实施例第三步完成后的曲面S示意图。
图4是本发明实施例第四步完成后的曲面S示意图。
图5是本发明实施例第五步完成后的曲面S示意图。
图6是本发明实施例第六步完成后的曲面S示意图。
图7是本发明实施例第七步完成后的曲面S示意图。
图8是本发明实施例第八步完成后的曲面S示意图。
图9是本发明实施例第九步完成后的曲面S示意图。
图10是本发明实施例第十步完成后的曲面S示意图。
图11是本发明实施例第十一步完成后的曲面S示意图。
图12是本发明实施例第十三步完成后的曲面S示意图。
图13是本发明实施例第十四步完成后的曲面S示意图。
图14是按照本发明方法将空间曲面四边形进行网格剖分完成后的剖分图。
图15是一个由TIN网格表示的实例地形面。
图16是按照本发明方法对图15网格剖分后（m=6,n=5）的示意图。
图17是按照本发明方法对图15网格剖分后（m=17,n=18）的示意图。
图18是一个由NURBS表达的实例圆锥切面。
图19是按照本发明方法对图18网格剖分后（m=17,n=8）的示意图。
图20是按照本发明方法对图18网格剖分后（m=161,n=71）的示意图。
具体实施方式
本发明所述基于投影的空间曲面四边形网格剖分方法，包括下述步骤：
第一步、如图1所示，将曲面S的外边界分割成由四条曲边所围成的扩展四边形，所述扩
展四边形的四条曲边的交点形成扩展四边形的四个顶点A、B、C、D，所述四条曲边AB、BC、CD、
DA均由曲线段组成；当然，四条曲边AB、BC、CD、DA也可由曲线段和直线段或直线段和直线段
组成；不失一般性，所述曲面S由NURBS、DEM、TIN方式表达的q个子曲面所组成的组合曲面，
其中，q为自然数；
第二步、如图2所示，将所述扩展四边形的曲边AB和CD按照各自的曲线长度进行四等
分，形成三个剖分点，如图2中的![]()
点所示，将曲边BC和DA按照各自曲线长度进行五等分，形
成四个剖分点，如图2中的![]()
点所示；
第三步、采用直线1连接曲边AB和CD上的第i个等分点，并将该直线1进行五等分，形成
四个剖分点，如图3中的×点所示；
第四步、将第三步中的所述四个剖分点（即图3中的×点）分别向所述曲面S进行投影，
投影时要遍历所述q个子曲面，找出各自的垂直投影点，即图4中的![]()
点，求出各个剖分点到
各自所述垂直投影点的最大距离，将其中的最大值记录为Emax1；
第五步、将曲边AB和CD上的所述第i个等分点与第四步所述各个垂直投影点（即图4中
的![]()
点）用直线依次连接，形成第i条剖分线2；
第六步、将第五步所述的第i条剖分线2按照曲线长度五等分，形成四个等分点，即图6
中的![]()
点；
第七步、将第五步所述的第i条剖分线2按照第六步所述的四个等分点（即图6中的![]()
点）重新连接，形成新的第i条剖分线3；
第八步、重复所述第三～七步骤，将所述曲边AB和CD上的三条剖分线3、4、5全部形成，
如图8所示；
第九步、连接所述曲边DA上的第j个等分点、曲边AB和曲边CD上的3条剖分线上每一条
中的第j个等分点以及曲边BC上的第j个等分点，形成第j条剖分线6, 即图9中的jj线；
第十步、将所述第j条剖分线6按照曲线长度四等分，形成三个等分点，即图10中的![]()
点；
第十一步、将所述三个等分点（即图10中的![]()
点）向曲面S投影，找到各自的垂直投影
点，即图11中的![]()
点，求出各个等分点到各自所述垂直投影点的距离，将其中的最大值记录
为Emax2；
第十二步、将所述Emax1与所述Emax2比较，其中的大值记录为Emax；
第十三步、将所述第j条剖分线6按照垂直投影点（即图11中的![]()
点）重新连接，形成新
的第j条剖分线7，如图12所示；
第十四步、重复所述第九～十三步骤，将曲边DA和BC上的四条剖分线7、8、9、10全部形
成（如图13所示）；
第十五步、判断所述大值Emax的大小，如果大值Emax大于设定的收敛标准，则认为剖分
没有完成，继续重复第四～十四步骤，直到大值Emax小于设定的收敛标准，即认为剖分完
成；完成后的剖分图如图14所示。
收敛标准实质上是剖分后的网格与原曲面贴合的最大距离误差，取值越小，精度
越高，一般情况下取0.001。